독립적인 물질 수지 방정식은 개별적으로 추적되는 각 성분이나 물질마다 하나의 보존 방정식을 작성함으로써 수립됩니다. 3성분 세포 분리 또는 가스 혼합 조작의 경우, 세포, 용해된 배지, 기타 용질에 대한 수지나 3가지 가스 성분에 대한 수지와 같이 3개의 독립적인 성분 수지가 생성됩니다. 전체 질량 또는 몰 수지를 작성할 수도 있지만, 이는 성분 수지의 합일 뿐이므로 추가적인 독립 방정식을 제공하지 않습니다.

독립적인 물질 수지의 수는 스트림의 수나 추가적인 합산 수지를 작성할 수 있는 능력이 아니라, 별개의 보존 성분 수에 의해 결정됩니다. 이러한 수지는 독립 방정식의 수가 미지수의 수와 일치할 때까지 공정 사양 및 스트림 제약 조건과 결합되어야 합니다.

명확하게 정의된 시스템 경계에서 시작하십시오

단위 조작 정의

분석 중인 특정 장비나 공정 섹션 주위에 경계를 설정하십시오.

세포 분리 파일럿 시스템의 경우, 경계는 원심분리기, 막 분리기 또는 여과 장치를 포함할 수 있습니다. 가스 혼합 시스템의 경우, 혼합 매니폴드를 포함하고 각 유입구와 결합된 유출구를 포함할 수 있습니다.

해당 경계를 가로지르는 스트림만이 수지 방정식에 나타납니다.

전체 수지와 국부 수지의 분리

전체 파일럿 플랜트 주위의 전체 수지에는 외부 공급 및 제품 스트림이 포함되지만, 개별 장치를 연결하는 내부 스트림은 제외됩니다.

분리기, 혼합기, 접합부 또는 분기점 주위의 국부 수지에는 해당 하위 시스템으로 들어오고 나가는 스트림만 포함됩니다. 국부 수지는 종종 내부 스트림 유량과 조성을 결정하는 데 필요합니다.

계산 기준 선택

기준은 연속 운전 1시간과 같은 지정된 시간 간격이거나 고정된 공급량일 수 있습니다.

정상 상태 운전의 경우 축적량은 0이므로, 각 성분 수지는 다음과 같은 일반적인 형태를 가집니다:

[ \text{성분 유입량}=\text{성분 유출량} ]

비정상 상태 운전의 경우 축적량을 포함해야 합니다:

[ \text{유입량}-\text{유출량}=\text{축적량} ]

각 독립 성분에 대해 하나의 수지 작성

보존 성분 식별

양을 독립적으로 추적해야 하는 물질이나 물질 범주를 나열하십시오.

예시는 다음과 같습니다:

세포 분리 공정에서의 세포, 배지 및 용해된 용질
가스 혼합 공정에서의 산소, 질소 및 이산화탄소
희석 또는 농축 조작에서의 용매와 용질

범주는 하나가 다른 것들의 양으로부터 계산될 수 없을 정도로 뚜렷해야 합니다.

성분 유량을 변수로 사용

스트림(s)과 성분(i)에 대해 다음과 같은 성분 유량을 정의하십시오:

[ F_{i,s} ]

정상 상태 장치에서의 성분(i)에 대한 수지는 다음과 같습니다:

[ \sum_{\text{유입구}} F_{i,s}

\sum_{\text{유출구}} F_{i,s} ]

성분 유량 측면에서 수지를 작성하면 공정 관계가 선형일 때 방정식을 선형으로 유지할 수 있습니다.

예시: 3성분 분리기

분리기가 공급 스트림(F)을 받아 성분(A), (B), (C)를 포함하는 스트림(P)과 (W)를 생성한다고 가정합니다.

독립적인 수지는 다음과 같습니다:

[ F_A=P_A+W_A ]

[ F_B=P_B+W_B ]

[ F_C=P_C+W_C ]

이 방정식들은 세 가지 성분 모두의 보존을 독립적으로 강제합니다.

전체 수지도 작성할 수 있습니다:

[ F_A+F_B+F_C

P_A+P_B+P_C+W_A+W_B+W_C ]

그러나 이 전체 방정식은 세 가지 성분 방정식을 더하여 얻어집니다. 이는 수학적으로 종속적이며 네 번째 독립 수지로 간주될 수 없습니다.

사양 및 스트림 제약 조건 추가

알려진 분리 또는 혼합 관계 사용

성분 수지만으로는 모든 미지 스트림 변수를 결정하지 못할 수 있습니다.

추가적인 독립 관계에는 다음이 포함될 수 있습니다:

제품 스트림에서의 지정된 세포 회수율
가스 성분에 대한 알려진 분할 비율
목표 유출 농도
두 유입 유량 간의 사전 설정된 비율
알려진 순도 또는 제거 효율
측정된 총 유량

예를 들어, 회수율(R)이 있는 세포 분리기는 다음을 사용할 수 있습니다:

[ P_{\text{세포}}=R F_{\text{세포}} ]

지정된 유출 몰 분율을 가진 가스 혼합기는 다음을 사용할 수 있습니다:

[ y_{\mathrm{CO_2},out}=y_{\mathrm{CO_2},target} ]

이것들은 추가적인 보존 법칙이 아니라 공정 사양입니다.

분율 합 제약 조건 강제

스트림이 질량 또는 몰 분율을 사용하여 설명되는 경우, 분율의 합은 1이어야 합니다:

[ \sum_i w_{i,s}=1 ]

또는

[ \sum_i y_{i,s}=1 ]

3성분 스트림의 경우:

[ w_A+w_B+w_C=1 ]

이 제약 조건은 조성 변수를 알 수 없을 때 필요합니다. 이는 물리적 정규화 조건이며 네 번째 성분 수지가 아닙니다.

독립적인 관계와 중복 관계 구별

관계는 이미 포함된 방정식에서 유도될 수 없는 경우에만 유용한 정보를 추가합니다.

예를 들어, 모든 성분 수지가 존재할 때 전체 수지는 중복됩니다. 마찬가지로, 세 가지 몰 분율 중 두 가지를 지정하는 것은 이미 분율 합 제약 조건을 통해 세 번째를 결정할 수 있습니다.

목표는 작성된 방정식의 수를 최대화하는 것이 아닙니다. 올바른 수의 독립적인 방정식을 얻는 것입니다.

독립성 및 자유도 확인

계수 행렬 형성

방정식이 선형일 때, 행렬 형식으로 작성하십시오:

[ A\mathbf{x}=\mathbf{b} ]

여기서 (\mathbf{x})는 미지 성분 유량, 총 유량 또는 조성 변수를 포함합니다.

(A)의 계수(rank)는 시스템이 나타내는 독립 방정식의 수를 제공합니다. 한 행이 다른 행의 선형 조합인 경우, 계수는 증가하지 않습니다.

자유도 분석 수행

계산 방법:

[ \text{자유도}

\text{미지수의 수}

\text{독립 방정식의 수} ]

완전히 지정된 모델은 일반적으로 자유도가 0입니다.

양의 자유도는 추가 측정이나 사양이 필요함을 의미합니다.
자유도 0은 정확하게 지정된 모델을 나타냅니다.
음의 자유도는 중복되거나 상충되는 정보가 있을 수 있음을 나타냅니다.

해결 전 모델 검증

특히 데이터가 반올림되었거나 방정식이 거의 종속적인 경우, 모델이 잘못 공식화되었더라도 솔버는 수치 결과를 반환할 수 있습니다.

행렬 계수, 잔차 오차 및 솔루션의 물리적 타당성을 확인하십시오. 변수 정의가 특별히 부호 있는 양을 허용하지 않는 한, 유량과 농도는 음수가 되어서는 안 됩니다.

일반적인 파일럿 시스템에 방법 적용

세포 분리 시스템

세포가 분리기 내에서 생성되거나 파괴되지 않을 때 세포 집단을 별도로 보존되는 성분으로 취급하십시오.

공급, 농축 세포 및 청정 액체 스트림이 있는 분리기의 경우, 세포 수지는 다음과 같이 작성될 수 있습니다:

[ F_{\text{세포}}

P_{\text{세포}}+W_{\text{세포}} ]

추가적인 수지는 의도된 모델에 따라 용해된 용질, 부유 고형물 또는 용매를 추적할 수 있습니다.

조작으로 인해 세포 성장, 사멸, 용해 또는 화학 반응이 발생하는 경우, 해당 생성 또는 소멸 항을 포함해야 합니다. 단순 분리기 수지는 이러한 효과가 무시할 수 있거나 의도적으로 제외된 경우에만 유효합니다.

가스 혼합 시스템

비반응성 가스 혼합의 경우, 각 가스 성분에 대해 하나의 몰 수지를 작성하십시오.

성분 (i)에 대해:

[ \sum_k F_{i,k}=F_{i,out} ]

유입구 (k)가 총 몰 유량 (F_k)과 몰 분율 (y_{i,k})을 갖는 경우:

[ F_{i,k}=F_k y_{i,k} ]

유출 조성은 다음에서 얻어집니다:

[ y_{i,out}

\frac{\sum_k F_k y_{i,k}}{\sum_k F_k} ]

유출 몰 분율은 다음도 만족해야 합니다:

[ \sum_i y_{i,out}=1 ]

그 마지막 관계는 일관성 제약 조건이며 완전한 성분 수지 세트와 총 유출 유량의 정의에 종속됩니다.

다중 연결 장치

혼합기, 분리기, 반응기 및 분기기를 포함하는 시스템의 경우, 답변하려는 질문에 필요한 수준에서 수지를 수립하십시오.

전체 경계를 사용하여 전역 보존을 확인하고, 개별 장치 경계를 사용하여 내부 스트림 변수를 결정하십시오. 내부 스트림은 전체 수지에서는 상쇄되지만 국부 수지에서는 필수적입니다.

상충 관계 이해

전체 수지는 유용하지만 독립적이지 않음

전체 수지는 계산을 확인하고 측정 불일치를 감지하는 데 여전히 가치가 있습니다.

단지 모든 해당 성분 수지에 추가하여 계산할 수 없을 뿐입니다. 일부 성분 수지만 사용되는 경우, 전체 수지가 독립적인 정보를 제공할 수 있지만 그 독립성은 이미 존재하는 방정식과 비교하여 확인되어야 합니다.

조성 변수는 비선형 방정식을 생성할 수 있음

총 유량과 조성을 동시에 사용하면 미지수의 곱이 생성될 수 있습니다:

[ F_s y_{i,s} ]

(F_s)와 (y_{i,s})가 모두 미지수인 경우 방정식은 비선형입니다.

성분 유량 (F_{i,s})을 주요 미지수로 사용하면 종종 더 간단한 선형 모델이 생성됩니다. 총 유량과 조성은 이후 적절한 경우 계산될 수 있습니다.

측정값이 일관되지 않을 수 있음

파일럿 플랜트 센서는 보정 오류, 노이즈, 샘플링 차이 또는 측정되지 않은 손실로 인해 모든 보존 방정식을 정확하게 만족하는 경우가 거의 없습니다.

측정 데이터가 모델을 과도하게 결정할 때, 엔지니어는 데이터 조정 또는 최소 자승법을 사용할 수 있습니다. 보존 방정식은 물리적 기초로 유지되며, 측정 불확실성이 편차를 처리하는 방법을 결정합니다.

반응 시스템은 추가 항이 필요함

반응 장치의 경우, 성분 수지는 단순히 유입량과 유출량이 같다는 것이 아닙니다.

일반적인 정상 상태 수지는 다음과 같습니다:

[ \text{유입량}-\text{유출량} + \text{반응에 의한 생성량}

\text{반응에 의한 소비량} =0 ]

해당 생성 및 소멸 항을 나타내기 위해 독립적인 반응 정도나 반응 속도가 도입될 수 있습니다. 이는 성분이 단순히 재분배되는 비반응성 분리기나 혼합기와는 다릅니다.

프로젝트에 적용하는 방법

올바른 방정식 세트는 선택된 변수와 사용 가능한 사양에 따라 다릅니다.

세포 분리에 중점을 두는 경우: 세포 및 추적해야 할 모든 다른 물질 범주에 대해 독립적인 수지를 작성한 다음, 회수율, 순도, 분할 또는 농도 사양을 추가하십시오.
가스 혼합에 중점을 두는 경우: 각 가스 성분에 대해 하나의 몰 수지를 작성하고, 알려진 유입 유량과 조성을 사용하며, 유출 몰 분율 합을 강제하십시오.
다중 장치 파일럿 플랜트에 중점을 두는 경우: 전체 및 국부 경계를 모두 정의하고, 각 필요한 하위 시스템의 수지를 맞추며, 전체 수지에서만 내부 스트림을 제외하십시오.
수치 해석에 중점을 두는 경우: 가능한 경우 성분 유량을 사용하고, 행렬 계수를 평가하며, 자유도가 0인지 확인하십시오.
측정된 파일럿 플랜트 데이터에 중점을 두는 경우: 독립적인 수지를 보존 제약 조건으로 사용하고 중복 방정식을 추가하는 대신 일관되지 않은 측정값을 조정하십시오.

독립적인 물질 수지는 각 독립적으로 보존되는 성분을 완전한 비중복 물리적 및 공정 제약 조건 세트에 일치시킴으로써 수립됩니다.

요약 표:

핵심 측면	실무 지침
독립 수지	개별적으로 추적되는 각 성분이나 물질마다 하나의 보존 방정식을 작성하십시오.
세포 분리 시스템	세포, 용해된 배지, 용질 또는 기타 관련 물질 범주를 추적하십시오.
가스 혼합 시스템	유입 유량과 몰 분율을 사용하여 각 가스 성분에 대해 하나의 몰 수지를 작성하십시오.
전체 수지	유용한 확인용으로 사용하되, 모든 성분 수지가 포함된 경우 독립적인 것으로 간주하지 마십시오.
추가 방정식	필요에 따라 회수율, 순도, 분할, 농도, 유량 및 분율 합 제약 조건을 추가하십시오.
모델 검증	행렬 계수, 자유도, 잔차 및 물리적 타당성을 확인하십시오.
반응 시스템	반응, 성장, 사멸 또는 용해에 대한 생성 및 소비 항을 포함하십시오.

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