전달 함수는 정상 운전점을 기준으로 교반 탱크 히터의 과도 에너지 수지를 선형화하여 도출합니다. 액체 질량, 입구 온도 (T_i), 증기 온도 (T_{st}), 유량 (F), 열전달 면적 (A), 총괄 열전달계수 (U)가 일정하고 탱크가 완전 혼합된다고 가정하면, 그 결과로 1차 모델을 얻을 수 있습니다. 이 모델은 입구 유체 온도와 증기 온도에서 탱크 온도까지의 전달 함수를 각각 제공합니다.

탱크 온도는 동일한 열 저장 및 열 제거 동역학을 통해 두 교란에 모두 반응합니다. 입구 온도 경로는 유체 교체에 의해 지배되고, 증기 온도 경로는 코일의 열전달 용량 (UA)에 의해 지배됩니다.

비정상 에너지 수지에서 시작하기

탱크 및 유동 가정 정의

탱크가 완전히 교반되어 출구 온도가 탱크 온도 (T)와 같다고 가정합니다. 또한 액체 부피, 밀도, 열용량, 유량 및 열전달 특성이 일정하다고 가정합니다.

탱크에는 액체 질량 (M)이 포함되어 있으며, 공정 유체의 열용량은 (C_p)입니다. 증기 코일을 통한 열 유입은 다음과 같습니다.

[ Q = UA(T_{st}-T) ]

여기서 (U)는 총괄 열전달계수이고 (A)는 유효 열전달 면적입니다.

축적항 작성

탱크에 저장된 열에너지는 다음 속도로 변합니다.

[ MC_p\frac{dT}{dt} ]

이 항은 동적 거동을 나타냅니다. 액체 질량이나 열용량이 클수록 탱크 온도를 변화시키는 데 더 많은 에너지가 필요합니다.

유동 및 가열 항 작성

공정 유체를 통해 순 유입되는 에너지는 다음과 같습니다.

[ FC_p(T_i-T) ]

첫 번째 항인 (FC_pT_i)는 공급 유체와 함께 유입되는 에너지를 나타냅니다. 두 번째 항인 (FC_pT)는 완전히 혼합된 출구 유체와 함께 유출되는 에너지를 나타냅니다.

증기 코일의 열부하를 더하면 완전한 수지는 다음과 같습니다.

[ MC_p\frac{dT}{dt}

FC_p(T_i-T)+UA(T_{st}-T) ]

동적 모델 재배열

열전달 항 전개

우변을 전개하면 다음과 같습니다.

[ MC_p\frac{dT}{dt}

FC_pT_i-FC_pT+UAT_{st}-UAT ]

탱크 온도 항을 모으면 다음을 얻습니다.

[ MC_p\frac{dT}{dt}+(FC_p+UA)T

FC_pT_i+UAT_{st} ]

방정식 정규화

(MC_p)로 나누면 다음과 같습니다.

[ \frac{dT}{dt} + \left( \frac{F}{M}+\frac{UA}{MC_p} \right)T

\frac{F}{M}T_i + \frac{UA}{MC_p}T_{st} ]

다음을 정의합니다.

[ a=\frac{F}{M}+\frac{UA}{MC_p} ]

[ b_i=\frac{F}{M} ]

[ b_{st}=\frac{UA}{MC_p} ]

모델은 다음과 같이 표현됩니다.

[ \frac{dT}{dt}+aT=b_iT_i+b_{st}T_{st} ]

계수 (a)는 탱크가 새로운 평형에 도달하는 속도를 결정합니다. 그 역수인

[ \tau=\frac{1}{a}

\frac{MC_p}{FC_p+UA} ]

는 유효 열 시간 상수입니다.

편차 변수로 변환

정상 운전점 정의

초기 정상 상태 값을 (T_s), (T_{i,s}), (T_{st,s})라고 하겠습니다. 정상 상태에서는

[ \frac{dT}{dt}=0 ]

이므로 정상 상태 수지는 다음과 같습니다.

[ aT_s=b_iT_{i,s}+b_{st}T_{st,s} ]

이 운전점은 교란을 연구할 때 사용하는 기준점입니다.

온도 편차 정의

편차 변수를 다음과 같이 정의합니다.

[ T'=T-T_s ]

[ T_i'=T_i-T_{i,s} ]

[ T_{st}'=T_{st}-T_{st,s} ]

시스템 매개변수가 일정하다고 가정했으므로, 정상 상태 방정식을 동적 방정식에서 빼면 다음을 얻습니다.

[ \frac{dT'}{dt}+aT'

b_iT_i'+b_{st}T_{st}' ]

이 단계에서는 일정한 운전점 항을 제거하고 두 입력의 변화에 대한 응답만 남깁니다.

라플라스 변환 적용

미분 방정식 변환

초기 편차가 0이라고 가정합니다. 즉, 탱크가 정상 상태 온도에서 시작한다고 가정합니다. 라플라스 변환을 취하면 다음과 같습니다.

[ sT'(s)+aT'(s)

b_iT_i'(s)+b_{st}T_{st}'(s) ]

탱크 온도 변환항을 묶으면 다음과 같습니다.

[ (s+a)T'(s)

b_iT_i'(s)+b_{st}T_{st}'(s) ]

따라서

[ T'(s)

\frac{b_i}{s+a}T_i'(s) + \frac{b_{st}}{s+a}T_{st}'(s) ]

두 전달 함수 식별

입구 유체 온도에서 탱크 온도까지의 전달 함수는 다음과 같습니다.

[ G_i(s)

\frac{T'(s)}{T_i'(s)}

\frac{b_i}{s+a}

\frac{F/M}{s+F/M+UA/(MC_p)} ]

이때 증기 온도 편차는 0으로 유지됩니다.

증기 온도에서 탱크 온도까지의 전달 함수는 다음과 같습니다.

[ G_{st}(s)

\frac{T'(s)}{T_{st}'(s)}

\frac{b_{st}}{s+a}

\frac{UA/(MC_p)}{s+F/M+UA/(MC_p)} ]

이때 입구 유체 온도 편차는 0으로 유지됩니다.

따라서 완전한 입출력 관계는 다음과 같습니다.

[ T'(s)=G_i(s)T_i'(s)+G_{st}(s)T_{st}'(s) ]

모델의 물리적 의미 해석

입구 온도 응답

입구 온도 경로의 분자는 (F/M)입니다. 유량이 증가하면 입구 교란이 탱크에 미치는 영향이 커지고 액체 체류 시간이 감소합니다.

정상 상태에서 입구 온도 이득은 다음과 같습니다.

[ K_i=G_i(0)=\frac{b_i}{a} ]

또는

[ K_i

\frac{F/M}{F/M+UA/(MC_p)} ]

증기 온도 응답

증기 온도 경로의 분자는 (UA/(MC_p))입니다. 열전달 면적이나 총괄 열전달계수를 증가시키면 증기 온도 변화가 탱크에 미치는 영향이 커집니다.

정상 상태 이득은 다음과 같습니다.

[ K_{st}=G_{st}(0)=\frac{b_{st}}{a} ]

또는

[ K_{st}

\frac{UA/(MC_p)}{F/M+UA/(MC_p)} ]

이 단순화된 모델에서는

[ K_i+K_{st}=1 ]

이는 정상 상태 탱크 온도가 입구 유체 온도와 증기 온도의 가중 균형이라는 사실을 반영합니다.

시간 상수 및 극점

두 전달 함수는 동일한 분모를 가지므로 동일한 극점을 갖습니다.

[ s=-a ]

공통 시간 상수는 다음과 같습니다.

[ \tau=\frac{1}{a} ]

(\tau)를 사용하면 전달 함수를 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.

[ G_i(s)=\frac{K_i}{\tau s+1} ]

[ G_{st}(s)=\frac{K_{st}}{\tau s+1} ]

공통 극점은 두 입력이 동일한 탱크 열 저장 특성에 의해 필터링된다는 의미입니다. 정상 상태 영향은 서로 다르지만, 제시된 가정하에서는 기본적인 1차 응답 속도가 동일합니다.

단계 응답 예측

입구 온도의 계단 변화

증기 온도가 변하지 않는 상태에서 입구 온도가 크기 (\Delta T_i)만큼 계단 변화할 경우,

[ T'(t)

K_i\Delta T_i \left(1-e^{-t/\tau}\right) ]

탱크 온도는 새로운 정상 상태 값에 지수적으로 접근합니다.

증기 온도의 계단 변화

입구 온도가 변하지 않는 상태에서 증기 온도가 크기 (\Delta T_{st})만큼 계단 변화할 경우,

[ T'(t)

K_{st}\Delta T_{st} \left(1-e^{-t/\tau}\right) ]

형태는 동일하지만 이득은 코일 열전달의 상대적 세기에 의해 결정됩니다.

동시 변화

두 온도가 동시에 변하면

[ T'(t)

K_i\Delta T_i \left(1-e^{-t/\tau}\right) + K_{st}\Delta T_{st} \left(1-e^{-t/\tau}\right) ]

보다 일반적인 시간 변화 입력의 경우 라플라스 영역 모델을 직접 사용하거나, 원래의 미분 방정식을 수치적으로 풀고 파일럿 플랜트 센서 데이터와 비교할 수 있습니다.

매개변수와 파일럿 플랜트 측정값 연결

열전달 용량 추정

(UA)는 증기 온도 변화가 탱크로 얼마나 효과적으로 전달되는지를 결정합니다. 다음 식을 사용하여 추정할 수 있습니다.

[ Q=UA\Delta T_m ]

여기서 (\Delta T_m)은 적절한 평균 온도차이며, 열교환기 방식의 계산에서는 대개 대수 평균 온도차를 사용합니다.

측정된 (U) 값에는 대류, 벽면 전도 및 오염에 의한 저항이 포함됩니다.

교반의 영향 평가

교반은 혼합을 향상시키고 유체 측 열전달계수를 증가시킬 수 있습니다. 또한 모델에서 사용하는 완전 혼합 가정을 뒷받침합니다.

혼합이 불량하면 탱크의 서로 다른 영역이 서로 다른 속도로 반응할 수 있으므로 측정 응답이 단일 온도 모델에서 벗어날 수 있습니다.

무차원 매개변수의 신중한 사용

다음 비율은

[ B=\frac{UA}{FC_p} ]

코일 열전달 용량과 공정 유체의 열용량 유량을 비교합니다.

큰 (B)는 유체 처리량 효과에 비해 증기 가열이 강하다는 것을 의미합니다. 작은 (B)는 입구 유체가 출구 온도에 더 큰 영향을 미친다는 것을 의미합니다.

상충 관계 이해

1차 모델은 근사 모델

이 모델은 (U), (A), (F), (M), (C_p)가 일정하다고 가정합니다. 실제 파일럿 플랜트에서는 이러한 매개변수가 유량, 온도, 점도, 오염 및 교반기 속도에 따라 변할 수 있습니다.

따라서 전달 함수는 선형화에 사용된 정상 운전점 근처에서 가장 신뢰할 수 있습니다.

증기 온도가 열부하와 같지 않을 수 있음

이 모델은 증기 온도를 입력으로 취급하고 다음 식을 사용합니다.

[ Q=UA(T_{st}-T) ]

이는 증기가 거의 일정한 온도에서 응축되고 코일 동역학이 탱크 동역학에 비해 빠른 경우에 적절합니다.

증기 압력, 밸브 위치, 응축수 제거 또는 코일 벽 온도에 중요한 동역학이 있는 경우에는 증기 온도만으로 가열 입력을 충분히 나타내지 못할 수 있습니다.

수송 및 센서 동역학의 중요성

이상적인 수지에는 입구 온도 변화와 그 영향이 탱크에 나타나는 사이의 명시적인 지연이 없습니다. 실제 배관, 샘플링 위치, 열전대 보호관 및 온도 센서는 수송 지연과 추가 시간 상수를 유발할 수 있습니다.

추정된 전달 함수가 실험 계단 시험 데이터와 일치하지 않는 경우 이러한 효과를 모델에 포함해야 합니다.

선형화의 적용 범위

편차 변수 모델은 시스템 매개변수가 대략 일정하게 유지될 만큼 변화가 충분히 작다는 가정을 전제로 합니다. 큰 온도 또는 유량 변화에는 비선형 에너지 수지나 수치 적분이 필요할 수 있습니다.

신뢰성 있는 검증에서는 초기 조건, 장시간 정상 상태 및 예측된 과도 곡선이 측정 데이터와 일치하는지를 확인해야 합니다.

목적에 맞는 선택

수지에서 도출한 모델을 분석 및 제어 설계의 출발점으로 사용하십시오.

주요 관심사가 입구 온도 교란인 경우: (G_i(s))를 사용하고, 유량 대 보유량 비율 (F/M)과 입구 계단 응답 이득 (K_i)을 중점적으로 분석합니다.
주요 관심사가 증기 온도 제어인 경우: (G_{st}(s))를 사용하고, (UA/(MC_p)), 열전달 면적, 교반 및 총괄 계수 (U)를 중점적으로 분석합니다.
주요 관심사가 파일럿 플랜트 검증인 경우: 계단 시험을 수행하고 이득과 시간 상수를 추정한 다음, 측정 응답을 1차 예측값과 비교합니다.
주요 관심사가 고정밀 시뮬레이션인 경우: 비선형 에너지 수지를 유지하고, 데이터에서 1차 모델이 불충분한 것으로 나타나는 경우 수송, 코일, 밸브 및 센서 동역학을 추가합니다.

전달 함수는 물리적 에너지 수지에서 도출된 간결한 동적 결과로서, 측정 가능한 공정 변화와 탱크 온도 응답을 연결합니다.

요약 표:

주요 요소	결과	실질적 의미
동적 모델	`MCp(dT/dt) = FCp(Ti - T) + UA(Tst - T)`	탱크의 열 축적, 입구 유동 및 증기 가열을 설명합니다.
입구 온도 전달 함수	`Gi(s) = (F/M) / [s + F/M + UA/(MCp)]`	입구 유체 온도 변화에 대한 탱크 응답을 예측합니다.
증기 온도 전달 함수	`Gst(s) = [UA/(MCp)] / [s + F/M + UA/(MCp)]`	가열 증기 온도 변화에 대한 탱크 응답을 예측합니다.
입구 정상 상태 이득	`Ki = (F/M) / [F/M + UA/(MCp)]`	탱크 온도에 대한 입구 온도의 영향을 나타냅니다.
증기 정상 상태 이득	`Kst = [UA/(MCp)] / [F/M + UA/(MCp)]`	증기 온도의 가열 영향을 나타냅니다.
공통 시간 상수	`tau = MCp / (FCp + UA)`	탱크가 새로운 온도에 얼마나 빠르게 도달하는지를 나타냅니다.
주요 검증 요소	`U`, `A`, `F`, `M`, `Cp`, 혼합, 지연 및 센서 동역학	모델이 파일럿 플랜트 데이터와 얼마나 잘 일치하는지를 결정합니다.