선형 환류비 제어 정책은 제품 순도 및 공정 모델 제약 조건을 준수하면서 각 운전 구간별 환류 궤적의 기울기와 절편을 최적화하여 메인 컷 수율을 극대화합니다. 구간 (j)에 대해 환류비를 (R_j(t)=a_jt+b_j)로 정의하고, 결과적인 유출액 유량 (D(t)=V(t)/(R_j(t)+1))으로부터 메인 컷 양을 계산합니다. 매개변수 (a_j), (b_j) 및 필요한 경우 구간 전환 시간은 비선형 프로그래밍 문제의 결정 변수입니다.

핵심 최적화는 환류가 물리적으로 실현 가능하도록 유지하고, 증류액 조성이 전체 구간 또는 컷 종료 시점에 요구되는 순도 사양을 충족하도록 보장하면서 누적된 메인 컷 제품을 최대화하는 것입니다.

선형 환류 정책 공식화

제어 궤적 정의

메인 컷 구간 (t\in[t_{j-1},t_j])에 대해 다음을 사용합니다.

[ R_j(t)=a_jt+b_j ]

여기서:

(R_j(t))는 환류비,
(a_j)는 환류비 기울기,
(b_j)는 절편,
(t_{j-1}) 및 (t_j)는 구간의 시작 및 종료 시간입니다.

양의 (a_j)는 시간이 지남에 따라 환류를 증가시키고, 음의 (a_j)는 환류를 점진적으로 감소시킵니다. 매개변수는 궤적이 장비 운전 범위 내에 유지되도록 선택되어야 합니다.

환류와 유출액 인출의 관계

(V(t))가 증기 비등 속도이고 환류비가 (R=\frac{L}{D})로 정의된다면,

유출액 유량은 다음과 같습니다.

[ D_j(t)=\frac{V(t)}{R_j(t)+1} =\frac{V(t)}{a_jt+b_j+1}. ]

이 관계는 핵심적인 수율 상충 관계를 보여줍니다. 환류를 증가시키면 일반적으로 분리는 향상되지만, 고정된 비등 속도에서 순간적인 유출액 인출 속도는 감소합니다.

누적 메인 컷 양 계산

구간 (j) 동안 수집된 총 유출액은 다음과 같습니다.

[ P_j= \int_{t_{j-1}}^{t_j} \frac{V(t)}{a_jt+b_j+1},dt. ]

비등 속도가 일정하고 (V(t)=V), (a_j\neq 0)인 경우, 적분식은 다음과 같은 해석적 형태를 가집니다.

[ P_j= \frac{V}{a_j} \ln\left( \frac{a_jt_j+b_j+1} {a_jt_{j-1}+b_j+1} \right). ]

(a_j=0)일 때, 정책은 구간 동안 일정하며 다음과 같습니다.

[ P_j= \frac{V(t_j-t_{j-1})}{b_j+1}. ]

여러 구간으로 구성된 메인 컷의 경우, 총량은 다음과 같습니다.

[ P_{\text{main}}=\sum_{j=1}^{m}P_j. ]

따라서 최적화 목표는 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다.

[ \max_{{a_j,b_j,t_j}} P_{\text{main}}. ]

제품 순도 제약 조건 추가

조성 가중 제품 순도 사용

총 유출액만 최대화하면 규격 미달 제품이 생성될 수 있습니다. 따라서 최적화 과정에서 배치 증류 모델을 통해 성분 조성을 추적해야 합니다.

(x_D^k(t))를 유출액 내 성분 (k)의 몰 분율이라고 할 때, 구간 (j)에서 성분 (k)의 누적량은 다음과 같습니다.

[ P_j^k= \int_{t_{j-1}}^{t_j} x_D^k(t)D_j(t),dt. ]

수집된 메인 컷의 평균 조성은 다음과 같습니다.

[ \bar{x}_{D,j}^k

\frac{P_j^k}{P_j}

\frac{ \int_{t_{j-1}}^{t_j} x_D^k(t)D_j(t),dt }{ \int_{t_{j-1}}^{t_j} D_j(t),dt }. ]

요구되는 순도 사양은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

[ \bar{x}{D,j}^k\geq \bar{x}{D,\text{spec}}^k. ]

이 공식은 수집된 제품이 요구되는 평균 사양을 충족하는 한, 컷 진행 중에 조성이 변하는 것을 허용합니다.

필요 시 순간 순도 또는 경로 순도 강제

제품이 매 순간 사양을 유지해야 하는 경우, 더 강력한 경로 제약 조건을 부과합니다.

[ x_D^k(t)\geq x_{D,\text{spec}}^k, \qquad t\in[t_{j-1},t_j]. ]

이는 일반적으로 평균 순도 제약 조건보다 낮은 수율을 제공하는데, 이는 최적화 도구가 전체 컷에 혼합되었을 때 허용될 수 있는 일시적으로 순도가 낮은 물질을 수집하는 것을 방지하기 때문입니다.

사양 함수를 통한 순도 표현

단위 조작에서 사양 함수 (X_{\mathrm{SPEC},k})를 사용하는 경우, 제약 조건은 일반적으로 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

[ X_{\mathrm{SPEC},k} \left( \mathbf{x}(t),\mathbf{M}(t),R_j(t) \right) \geq 0, ]

여기서 (\mathbf{x}(t))는 상 조성, (\mathbf{M}(t))는 용기 및 컬럼 홀드업을 나타냅니다. 이를 통해 동적 공정 모델에서 순도 제약 조건을 직접 평가할 수 있습니다.

비선형 최적화 문제 구축

결정 변수 정의

(m)개의 선형 정책 구간에 대해, 일반적인 결정 벡터는 다음과 같습니다.

[ \mathbf{z}

\left[ a_1,b_1,\ldots,a_m,b_m, t_1,\ldots,t_{m-1} \right]. ]

구간 경계가 고정되어 있으면 (a_j) 및 (b_j) 값만 최적화됩니다. 전환 시간도 최적화되는 경우 (t_j) 값이 결정 변수가 됩니다.

동등한 매개변수화는 구간 끝점에서의 환류값을 사용합니다.

[ R_{j,\mathrm{start}}=a_jt_{j-1}+b_j, \qquad R_{j,\mathrm{end}}=a_jt_j+b_j. ]

기울기와 절편은 다음과 같이 복구할 수 있습니다.

[ a_j= \frac{R_{j,\mathrm{end}}-R_{j,\mathrm{start}}} {t_j-t_{j-1}}, ]

[ b_j= R_{j,\mathrm{start}}-a_jt_{j-1}. ]

끝점 변수는 운영상 제약하고 해석하기가 더 쉬운 경우가 많습니다.

동적 컬럼 모델 포함

환류 정책은 컬럼 및 스틸 팟(still-pot) 밸런스를 통해 배치 궤적에 영향을 미칩니다. 일반적인 동적 모델은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

[ \frac{d\mathbf{y}}{dt}

\mathbf{f} \left( \mathbf{y}(t),R_j(t),\mathbf{p} \right), ]

대수 관계식은 다음과 같습니다.

[ \mathbf{0}

\mathbf{g} \left( \mathbf{y}(t),R_j(t),\mathbf{p} \right). ]

여기서 (\mathbf{y}(t))는 액체 홀드업, 성분 인벤토리, 온도 및 조성과 같은 양을 포함하며, (\mathbf{p})는 단 수, 공급 조성, 압력 및 비등 조건과 같은 고정된 공정 매개변수를 포함합니다.

모델은 또한 초기 조건을 강제해야 합니다.

[ \mathbf{y}(0)=\mathbf{y}_0. ]

환류가 기액 평형, 내부 유량, 조성, 인벤토리 및 유출액 속도 분모에 동시에 영향을 미치기 때문에 결과적인 최적화는 비선형입니다.

전체 최적화 문제 명시

대표적인 공식은 다음과 같습니다.

[ \begin{aligned} \max_{\mathbf{z},,\mathbf{y}(t)} \quad & P_{\text{main}}

\sum_{j=1}^{m} \int_{t_{j-1}}^{t_j} \frac{V(t)}{a_jt+b_j+1},dt \[4pt] \text{subject to} \quad & \frac{d\mathbf{y}}{dt}

\mathbf{f}\left(\mathbf{y},R_j(t),\mathbf{p}\right), \ & \mathbf{0}

\mathbf{g}\left(\mathbf{y},R_j(t),\mathbf{p}\right), \ & \bar{x}{D,j}^k \geq \bar{x}{D,\text{spec}}^k, \ & R_{\min}\leq R_j(t)\leq R_{\max}, \ & a_jt+b_j+1>0, \ & t_{j-1}<t_j, \ & t_m\leq t_{\text{batch}}. \end{aligned} ]

목표는 대신 특정 메인 컷 성분의 양을 최대화할 수 있습니다.

[ \max P_{\text{main}}^k

\max \sum_{j=1}^{m} \int_{t_{j-1}}^{t_j} x_D^k(t) \frac{V(t)}{a_jt+b_j+1},dt. ]

이는 "수율"이 총 수집 유출액이 아닌 대상 성분의 회수를 의미할 때 적절합니다.

전환 및 컷 경계 처리

선형 정책 간의 연속성 강제

환류 정책이 구간 (j)에서 구간 (j+1)로 변경되는 경우, 연속성을 다음과 같이 강제할 수 있습니다.

[ a_jt_j+b_j

a_{j+1}t_j+b_{j+1}. ]

이 제약 조건이 없으면 최적화 도구가 급격한 환류 점프를 생성할 수 있습니다. 제어 하드웨어가 이를 지원한다면 이러한 점프가 허용될 수 있지만, 그렇지 않으면 제한되거나 경계가 있는 램프로 대체되어야 합니다.

컷 전환 시간 최적화

전환 시간은 공정이 한 환류 정책에서 다른 정책으로 변경되거나 제품 수집이 시작되고 중단되는 시점을 결정합니다. 이는 다음 조건에 따라 최적화될 수 있습니다.

[ t_{j-1}+\Delta t_{\min} \leq t_j \leq t_{\text{batch}}, ]

여기서 (\Delta t_{\min})은 구간이 무시할 수 있는 지속 시간으로 축소되는 것을 방지합니다.

스틸 장입물이 고갈됨에 따라 조성이 지속적으로 변하기 때문에 전환 시간을 최적화하는 것이 중요합니다. 잘못 선택된 전환 시간을 가진 고정 환류 프로파일은 환류 수준 자체가 합리적이더라도 과도한 중간 오프 컷(off-cut) 물질을 수집할 수 있습니다.

오프 컷 및 잔류물 제약 조건 포함

운전에 메인 컷, 오프 컷 및 잔류물 단계가 포함된 경우 별도의 정책을 정의합니다.

[ R_{\text{main}}(t)=a_{\text{main}}t+b_{\text{main}}, ]

[ R_{\text{off}}(t)=a_{\text{off}}t+b_{\text{off}}. ]

목표는 오프 컷 양을 제한하면서 메인 컷 회수를 최대화하는 것일 수 있습니다.

[ \max P_{\text{main}}^k ]

제약 조건:

[ P_{\text{off}}\leq P_{\text{off,max}} ]

및 메인 제품과 바닥 제품 모두에 대한 필수 사양. 재순환 운전에서 오프 컷의 양과 조성은 다음 배치의 입력값이 되어 순차적 또는 외부 루프 최적화 문제를 생성할 수 있습니다.

수치적 모델 해결

동적 방정식 이산화

연속 시간 공식은 일반적으로 직접 전사(direct transcription), 콜로케이션(collocation) 또는 최적화 도구 내부의 시간 적분을 통해 유한 차원 비선형 프로그램으로 변환됩니다.

간단한 구현을 위해 각 구간을 그리드 포인트 (t_n)로 나누고 다음을 평가합니다.

[ R_j(t_n)=a_jt_n+b_j, ]

그리고 수치 적분(quadrature)으로 누적 제품을 근사합니다.

[ P_j \approx \sum_n w_n \frac{V(t_n)} {R_j(t_n)+1}, ]

여기서 (w_n)은 적분 가중치입니다.

컬럼 상태 방정식은 동일한 그리드 포인트에서 강제되거나 각 시험 정책에 대해 동적 모델을 적분하여 평가됩니다.

정책 수준 및 지속 시간 동시 최적화

실용적인 근사치는 조각별 일정한 환류 수준을 사용하지만, 선형 정책은 구간당 두 개의 매개변수만으로 더 부드러운 궤적을 제공합니다. 최적화 도구는 다음을 동시에 결정할 수 있습니다.

초기 환류 수준,
최종 환류 수준,
각 선형 세그먼트의 기울기,
각 세그먼트의 지속 시간,
메인 컷과 오프 컷 운전 간의 전환 시간.

이는 결정 변수의 수를 관리 가능한 수준으로 유지하면서 일정한 정책보다 더 많은 유연성을 제공합니다.

수치적 및 물리적 실현 가능성 확인

최적화는 다음 조건에 해당하는 모든 후보 정책을 거부해야 합니다.

[ R_j(t)+1\leq 0, ]

유출액 유량 표현식이 정의되지 않거나 물리적으로 무의미해지기 때문입니다. 또한 응축기, 리보일러, 환류 밸브, 플러딩, 최소 유출액 유량 제한을 위반하는 궤적도 거부해야 합니다.

수학적으로 실현 가능한 솔루션이 자동으로 구현 가능한 운전 정책은 아닙니다. 최종 궤적은 액추에이터 응답 제한 및 플랜트 제어 시스템의 해상도에 대해 확인되어야 합니다.

상충 관계 이해

높은 환류는 순도를 향상시키지만 인출 속도를 감소시킴

고정 비등 (V)에 대해,

[ D(t)=\frac{V}{R(t)+1} ]

는 환류가 증가함에 따라 감소합니다. 높은 환류는 더 많은 응축 액체를 컬럼 아래로 다시 보내 분리를 향상시키지만 단위 시간당 수집되는 유출액은 줄어듭니다.

따라서 최적화 도구는 순도를 유지하기 어려울 때는 더 높은 환류를 사용하고, 조성 여유가 더 빠른 제품 인출을 허용할 때는 더 낮은 환류를 사용하는 경향이 있습니다.

평균 순도와 경로 순도는 다른 목표임

평균 순도 제약 조건은 수집된 컷 내에서 조성 변화를 허용합니다. 경로 제약 조건은 모든 순간적인 유출액 샘플이 사양을 충족할 것을 요구합니다.

경로 제약 문제가 더 제한적이며 메인 컷 수율을 감소시킬 수 있지만, 혼합이 금지되거나 제품 품질을 지속적으로 제어해야 할 때 필요할 수 있습니다.

정책 구간이 많을수록 유연성이 증가함

구간을 추가하면 환류 궤적이 변화하는 스틸 조성에 더 밀접하게 대응할 수 있습니다. 그러나 각 추가 구간은 매개변수, 전환 조건 및 수치적 복잡성을 도입합니다.

구간이 너무 많으면 조작하기 어렵거나 모델 오류에 민감한 과적합 제어 궤적이 생성될 수 있습니다. 구간 수는 공정 역학 및 가용한 제어 해상도를 반영해야 합니다.

모델 정확도가 최적화의 가치를 제한함

최적 정책은 기액 평형 모델, 홀드업 가정, 비등 거동 및 순도 측정에 따라 달라집니다. 단순화된 평형 단 모델로 최적화된 궤적은 상당한 액체 홀드업이나 비이상적 열역학이 있는 컬럼에서 동일하게 수행되지 않을 수 있습니다.

따라서 예측된 수율을 운전 보증으로 취급하기 전에 모델 검증 및 폐루프 구현이 필요합니다.

목표에 맞는 올바른 선택

수율의 의미와 운전 요구 사항에 따라 공식을 선택하십시오.

주요 초점이 메인 컷 질량 수율인 경우: 필수 평균 순도 및 환류 범위를 강제하면서 (\sum_j\int D_j(t),dt)를 최대화하십시오.
주요 초점이 대상 성분 회수인 경우: 총 유출액 질량에는 원치 않는 성분이 포함될 수 있으므로 (\sum_j\int x_D^k(t)D_j(t),dt)를 최대화하십시오.
주요 초점이 보장된 제품 품질인 경우: 평균 컷 순도에만 의존하지 말고 순간 순도 제약 조건 (x_D^k(t)\geq x_{D,\mathrm{spec}}^k)을 적용하십시오.
주요 초점이 최소 배치 시간인 경우: 최소 메인 컷 양 및 순도 제약 조건에 따라 (t_m)을 최소화하십시오.
주요 초점이 실질적인 플랜트 구현인 경우: 끝점 환류 값과 전환 시간을 최적화한 다음 선형 정책에 연속성 및 액추에이터 속도 제한을 부과하십시오.

수학적으로 공식화된 선형 환류 정책은 환류 운전을 수율, 순도, 시간 및 조작성이 함께 최적화되는 제약된 동적 최적화 문제로 바꿉니다.

요약 표:

요소	핵심 공식 또는 통찰
환류 정책	각 운전 구간에 대해 $R_j(t)=a_jt+b_j$
유출액 유량	$D_j(t)=V(t)/(R_j(t)+1)$
메인 컷 수율	$P_{main}=\sum_j\int D_j(t)\,dt$ 최대화
대상 성분 회수	$P_{main}^k=\sum_j\int x_D^k(t)D_j(t)\,dt$ 최대화
순도 제약 조건	평균 순도 또는 순간 경로 순도 제한 적용
결정 변수	정책 기울기, 절편, 끝점 환류 값 및 전환 시간
운전 제약 조건	환류 범위, 양수 유량 분모, 구간 지속 시간 및 배치 시간 제한 강제
실질적 구현	정책 연속성, 액추에이터 속도, 플러딩, 응축기 및 리보일러 제약 조건 추가
수치적 솔루션	직접 전사, 콜로케이션 또는 수치 적분을 사용한 동적 시뮬레이션
핵심 상충 관계	환류가 높을수록 분리는 향상되지만 유출액 인출 속도는 감소함

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