제어 체적 해석에서의 운동량 보존은 고정되거나 움직이는 유체 영역에 대한 힘의 평형으로 작성됩니다. 레이놀즈 수송 정리(Reynolds transport theorem)를 이용한 뉴턴의 제2법칙에 따르면, 제어 체적 내부의 운동량 축적률과 제어 표면을 통한 순 대류 운동량 플럭스의 합은 총 외력과 같습니다. 총 힘은 유체 체적 전체에 작용하는 물체력(body forces)과 압력 및 점성 응력을 통해 제어 표면을 가로질러 작용하는 표면력(surface forces)으로 구분됩니다.

제어 체적 운동량 방정식은 다음과 같습니다. [ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho \mathbf{v},dV +\oint_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA =\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV +\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA. ] 우변에는 물체력 기여분과 표면력 기여분이 포함되어 있습니다.

운동량 보존이 공식화되는 방법

뉴턴의 제2법칙에서 시작

물질 시스템에 대해 뉴턴의 제2법칙은 순 외력이 운동량의 변화율과 같다고 명시합니다:

[ \mathbf{F}_{\text{net}}

\frac{d}{dt}\int_{\text{system}}\rho\mathbf{v},dV. ]

여기서 (\rho)는 유체 밀도이고 (\mathbf{v})는 속도 벡터입니다.

물질 유체 요소에 대해 동일한 관계를 미분 형식으로 표현하면 다음과 같습니다:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}, ]

여기서 (D\mathbf{v}/Dt)는 물질 가속도이고 (\mathbf{f})는 단위 체적당 순 힘입니다.

레이놀즈 수송 정리 적용

제어 체적은 유체가 흐를 수 있는 공간 내의 선택된 영역입니다. 레이놀즈 수송 정리는 체적 내부에 저장된 운동량과 경계를 가로질러 운송되는 운동량을 모두 고려하여 시스템 평형을 제어 체적 평형으로 변환합니다.

정지된 제어 체적의 경우:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\mathbf{F}_{\text{net}}. ]

첫 번째 항은 제어 체적 내의 운동량 축적을 나타냅니다. 두 번째 항은 제어 표면을 통한 순 대류 운동량 흐름을 나타냅니다.

대류 운동량 플럭스 해석

벡터 (\mathbf{n})은 제어 표면에 대한 바깥쪽 단위 법선 벡터입니다. 양 (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})은 표면을 가로지르는 속도의 법선 성분을 식별합니다.

제어 체적으로 들어오는 유체는 (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}<0)이고, 나가는 유체는 (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>0)입니다. 이 부호 규약은 입구와 출구의 운동량 기여분을 자동으로 고려합니다.

균일한 속도 프로파일을 가진 정상 1차원 흐름의 경우, 평형식은 종종 다음과 같이 축소됩니다:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}. ]

물체력과 표면력의 차이

물체력은 유체 체적 전체에 작용

물체력은 제어 체적 전체에 걸쳐 유체의 질량에 직접 작용합니다. 이는 경계와의 물리적 접촉을 필요로 하지 않습니다.

일반적인 물체력 기여분은 다음과 같습니다:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV, ]

여기서 (\mathbf{b})는 단위 질량당 물체력입니다.

대부분의 유체 흐름 단위 조작에서 지배적인 예는 중력입니다:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV. ]

일정한 밀도와 균일한 중력장의 경우, 이는 다음과 같이 됩니다:

[ \mathbf{F}_V

\rho\mathbf{g}V_{CV}. ]

중력은 정수압 계산, 수직 배관, 탱크, 컬럼 및 높이 변화가 포함된 시스템에서 중요합니다.

표면력은 경계를 가로질러 작용

표면력은 제어 표면을 통해 유체에 작용합니다. 이러한 힘은 주변 유체, 고체 벽, 펌프, 밸브 및 기타 접촉 표면에서 발생합니다.

일반적인 표현식은 다음과 같습니다:

[ \mathbf{F}_S

\oint_{CS}\mathbf{s}(\mathbf{n}),dA

\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA, ]

여기서 (\mathbf{s}(\mathbf{n}))은 표면 견인 벡터이고 (\boldsymbol{\sigma})는 응력 텐서입니다.

표면력은 두 가지 주요 성분을 가집니다:

[ \boldsymbol{\sigma}

-p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}. ]

항 (-p\mathbf{I})는 등방성 압력 응력을 나타냅니다. 텐서 (\boldsymbol{\tau})는 속도 구배로 인해 발생하는 점성 또는 편차 응력을 나타냅니다.

압력력은 수직으로 작용

압력은 표면에 수직으로 작용합니다. 그 기여분은 다음과 같습니다:

[ \mathbf{F}_p

-\oint_{CS}p\mathbf{n},dA. ]

음의 부호는 바깥쪽 법선 규약을 따릅니다. 즉, 유체에 가해지는 압력은 주변 표면에 대해 안쪽을 향합니다.

압력력은 리듀서, 노즐, 벤드, 펌프 및 파이프 피팅을 가로지르는 운동량 평형의 핵심입니다. 그 합력은 추력, 반력 또는 압력 강하 관계를 생성할 수 있습니다.

점성력은 접선 방향으로 작용

점성 전단 응력은 주로 벽면이나 유체 계면에 접선 방향으로 작용합니다. 고체 벽에서 이는 경계 근처의 속도 구배와 관련이 있습니다.

점성 기여분은 다음과 같이 표현됩니다:

[ \mathbf{F}_{\tau}

\oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

내부 흐름에서 벽면 전단은 마찰 압력 손실을 생성합니다. 이러한 손실은 펌프 크기 선정, 작동 동력 및 배관 네트워크의 수력학적 성능에 영향을 미칩니다.

완전한 제어 체적 힘의 평형

운동량 운송 항을 물체력 및 표면력과 결합하면 다음과 같습니다:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV

\oint_{CS}p\mathbf{n},dA + \oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

이 방정식은 각 좌표 방향에서 독립적으로 적용됩니다. 예를 들어, 수평 파이프 벤드는 일반적으로 필요한 지지력이나 고정력을 결정하기 위해 (x)- 및 (y)-성분을 사용하여 분석됩니다.

정상 상태 단순화

정상 상태 조건에서는 운동량 축적이 사라집니다:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV=0. ]

그러면 이 방정식은 제어 체적을 나가는 순 운동량 플럭스가 물체력과 표면력의 합과 같음을 나타냅니다.

이 형식은 정상 파이프 흐름, 펌프 스테이션, 밸브, 엘보우 및 반응기 공급 시스템을 분석하는 데 특히 유용합니다.

1차원 입구 및 출구 형식

개별 입구와 출구의 경우, 운동량 평형은 다음과 같이 작성할 수 있습니다:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}}. ]

질량 유량은 다음과 같습니다:

[ \dot{m}=\rho A v, ]

단면적 (A)와 속도 (v)를 가진 균일한 흐름의 경우입니다.

이 공학적 형식은 입구 및 출구 속도를 알거나 연속 방정식으로부터 추정할 수 있을 때 편리합니다.

단위 조작에서 이 구분이 중요한 이유

압력 강하 및 마찰 손실 예측

파이프와 장비를 통한 압력 변화를 계산할 때는 압력력과 벽면 전단력을 구분해야 합니다. 압력 차이는 구동력을 제공하는 반면, 점성 전단은 비가역적인 마찰 손실을 설명합니다.

이러한 결과는 펌프 선정 및 파일럿 규모 시스템의 작동 한계 평가를 뒷받침합니다.

장비 및 배관 하중 평가

운동량 플럭스는 크기가 일정하더라도 방향이 바뀔 수 있습니다. 따라서 파이프 엘보우는 유체 운동량 벡터가 변하기 때문에 반력을 경험합니다.

제어 체적 평형은 유체에 작용하는 힘을 제공하며, 크기가 같고 방향이 반대인 힘이 피팅, 지지대 또는 장비에 전달되는 하중을 결정합니다.

높이 및 정수압 효과 고려

제어 체적이 상당한 수직 범위를 가지거나 유체가 정지해 있거나 천천히 움직일 때 물체력은 중요해집니다. 이때 중력은 압력 분포와 정수두(hydrostatic head)에 기여합니다.

수직 컬럼과 탱크에서 물체력 항을 생략하면 부정확한 압력이나 힘 예측이 발생할 수 있습니다.

트레이드오프 이해

적분 평형은 적절한 평균화가 필요

제어 체적 방정식은 정확하지만, 실제 계산에서는 종종 평균 속도, 균일한 프로파일 및 단순화된 압력 분포를 사용합니다. 이러한 근사는 흐름이 강하게 발달 중이거나, 난류이거나, 분리되거나, 다상 흐름인 경우에는 부적절할 수 있습니다.

속도 분포가 균일하지 않은 경우 속도 프로파일 보정 계수가 필요할 수 있습니다.

압력과 전단은 상호 교환 불가

압력은 수직 응력인 반면, 점성 전단은 접선 응력입니다. 모든 표면력을 압력력으로 취급하면 부정확한 합력이 도출되고 마찰 손실이 과소평가될 수 있습니다.

반대로, 무시할 수 있는 곳에 벽면 전단을 포함하면 결과를 개선하지 못하면서 복잡성만 더할 수 있습니다.

선택된 제어 체적이 계산에 영향

제어 표면은 압력, 속도 및 유량을 알거나 신뢰성 있게 추정할 수 있는 곳에 배치해야 합니다. 잘못 선택된 제어 체적은 알 수 없는 벽면 힘이나 불필요한 계면을 도입할 수 있습니다.

내부 구성 요소를 포함하는 장비의 경우, 전체 장치 주위에 경계를 설정하면 내부 힘을 순 외력으로 대체하여 평형을 단순화할 수 있습니다.

운동량 해석은 에너지 해석을 대체하지 않음

운동량 보존은 힘과 운동량 변화를 결정하지만, 그 자체로 온도 변화, 열 전달 또는 기계적 에너지 손실을 결정하지는 않습니다. 열 장비, 펌프 동력 및 열교환기 분석에는 에너지 평형이 필요합니다.

완전한 단위 조작 설계에서는 질량, 운동량 및 에너지 평형이 함께 사용됩니다.

목표에 맞는 올바른 선택

제어 체적을 식별하고, 입구 및 출구 운동량 플럭스를 지정하며, 각 물체력 및 표면력 기여분을 평가하여 제어 체적 운동량 방정식을 사용하십시오.

• 주된 초점이 압력 강하 예측인 경우: 압력 및 벽면 전단 기여분을 주의 깊게 포함하고, 적절한 속도 프로파일 또는 마찰 계수 상관관계를 사용하십시오.
• 주된 초점이 펌프 및 배관 설계인 경우: 정상 운동량 평형을 적용하여 압력력, 장비 반력 및 지지 하중을 결정하십시오.
• 주된 초점이 수직 또는 정수압 시스템인 경우: 물체력 항(\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV)을 포함하고 높이 효과를 명시적으로 고려하십시오.
• 주된 초점이 파일럿 플랜트 스케일업인 경우: 운동량 평형을 연속 방정식 및 에너지 평형과 결합하여 흐름 분포, 압력 손실 및 열 효과가 일관되게 평가되도록 하십시오.

잘 선택된 제어 체적은 유체 운동량 보존을 흐름 거동과 공정 장비에 작용하는 힘 사이의 직접적이고 정량적인 연결 고리로 바꿔줍니다.

요약 표:

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