동적 물질수지는 비선형 기액 평형 관계를 국소 선형식으로 대체한 다음 조성 항을 정리하여 선형화합니다. 단계 (n)에 대한 액상 성분수지는 다음과 같습니다.

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+Vy_{n+1}-Vy_n. ]

평형 관계를 일정한 기울기 (m_i)를 갖는 (y_i=m_i x_i)로 국소 근사하면, 단계 방정식은 인접 단계와 결합된 선형 미분방정식이 됩니다. 이 형식은 전달함수 도출, 외란 전파 연구, 흡수 및 증류 파일럿 플랜트의 조성 제어 시스템 설계의 기초가 됩니다.

핵심 요점: 선형화는 홀드업, 유량 및 국소 평형 기울기를 상수로 취급하여 단계 수지를 1차 동적 모델로 변환합니다. 각 단계가 인접 단계와 물질을 교환하므로, 결과 모델은 일반적으로 단계별 독립 방정식이 아니라 결합된 1차 방정식들의 집합입니다.

동적 단계 수지로 시작하기

액상 성분 축적

일정한 액상 홀드업 (H_n)에 대해 단계 (n)에서 흡수되거나 증류되는 성분의 축적량은 다음과 같습니다.

[ H_n\frac{dx_n}{dt}. ]

여기서 (x_n)은 단계 (n)에서 해당 성분의 액상 몰분율입니다. 단위는 일관되어야 합니다. (H_n)이 몰 홀드업이라면 (L)과 (V)는 몰 유량이어야 합니다.

유량 기여

단계 (n)으로 유입되는 액체 흐름은 (Lx_{n-1})을 기여하고, 유출되는 액체 흐름은 (Lx_n)을 기여합니다.

인접 단계에서 유입되는 증기 흐름은 (Vy_{n+1})을 기여하며, 단계 (n)에서 유출되는 증기는 (Vy_n)을 제거합니다. 따라서

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+Vy_{n+1}-Vy_n. ]

이 수지는 일정한 (L), 일정한 (V), 일정한 홀드업, 반응 없음, 그리고 증기상의 축적 무시를 가정합니다.

국소 평형 근사 적용

선형 평형 관계

증기 조성과 액체 조성은 다음 평형 함수로 연결됩니다.

[ y=f(x). ]

선택한 운전점 주변에서는 이 관계를 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

[ y_i \approx y_{i,0}+m_i(x_i-x_{i,0}), ]

여기서

[ m_i=\left.\frac{dy}{dx}\right|{x{i,0}}. ]

일정한 평형선 기울기를 갖고 운전점을 기준으로 조성을 측정하는 단순화된 모델에서는 다음과 같이 됩니다.

[ y_i=m x_i. ]

기울기 (m)는 시스템에 따라 국소 휘발도 관계 또는 헨리 법칙 관계를 나타낼 수 있습니다.

단계 수지에 대입

(y_n=mx_n) 및 (y_{n+1}=mx_{n+1})을 사용하면

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+mVx_{n+1}-mVx_n. ]

(x_n)을 포함하는 항을 정리하면

[ \boxed{ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}

(L+mV)x_n + mVx_{n+1} } ]

또는 홀드업으로 나누면

[ \boxed{ \frac{dx_n}{dt}

\frac{L}{H_n}x_{n-1}

\frac{L+mV}{H_n}x_n + \frac{mV}{H_n}x_{n+1} }. ]

이는 일정 유량 가정하에서 이상적인 평형 단계에 대한 표준 선형화 동적 방정식입니다.

이 모델에서 “선형화”의 의미

평형 관계 선형화

원래의 평형 관계는 특히 상대 휘발도 변화가 큰 증류 시스템에서 비선형일 수 있습니다. 선형화는 선택한 정상 운전점 근처에서 비선형 관계를 접선으로 대체합니다.

이 근사는 해당 운전점 주변의 비교적 작은 조성 변화에 대해 신뢰할 수 있습니다. 큰 외란에는 완전한 비선형 기액 평형 관계가 필요할 수 있습니다.

물질수지 선형화

(H), (L), (V)가 일정할 때 물질수지 자체는 이미 (x)에 대해 선형입니다. 이러한 양이 조성, 온도, 압력, 액위 또는 총 유량에 따라 변할 때 추가적인 비선형성이 발생합니다.

보다 일반적인 모델에서는 다음과 같이 작성합니다.

[ H_n(x_n)\frac{dx_n}{dt}

L(x_{n-1}-x_n) + V(y_{n+1}-y_n), ]

그런 다음 정상 상태를 기준으로 모델을 전개합니다.

[ x_i=x_{i,0}+\delta x_i, \qquad y_i=y_{i,0}+\delta y_i. ]

평형 섭동은 다음과 같이 근사합니다.

[ \delta y_i=m_i\delta x_i. ]

결과적인 섭동 모델은 박스 안의 방정식과 동일한 구조를 가지지만, 계수는 운전점에서 평가됩니다.

중요한 인덱싱 수정

인접 단계의 증기 조성을 유지해야 함

자주 발생하는 인덱싱 오류는 (y_{n+1}=mx_{n-1})로 대입하는 것입니다. 일반적인 병류식 단계 번호 지정에서 단계 (n)으로 유입되는 증기는 (y_{n+1})이며, 이는 단계 (n+1)의 액체 조성과 관련됩니다.

[ y_{n+1}=mx_{n+1}. ]

따라서 올바르게 인덱싱된 방정식은 다음과 같습니다.

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}

(L+mV)x_n + mVx_{n+1}. ]

다음 식

[ H\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-(L+mV)x_n+mVx_{n-1} ]

은 (x_{n-1})이라는 변수가 유입 증기의 상류 액체 등가 조성으로 의도적으로 정의된 경우에만 유효합니다. 이는 일반적인 단계 인덱스 평형 대입 방식이 아닙니다.

이 구분이 중요한 이유

(x_{n+1})을 유지하면 결합된 컬럼 모델이 생성됩니다. 한 단계의 조성은 양쪽 인접 단계의 영향을 받으며, 이는 트레이 컬럼 또는 이산화된 충전 컬럼을 통한 외란 전파를 나타내는 데 필수적입니다.

인접 단계 항을 동일한 상류 변수로 대체하면 더 단순한 단일 단계 모델을 만들 수 있지만, 물리적 연결성이 변경되어 동적 예측이 부정확해질 수 있습니다.

단계 방정식에서 전달함수로

라플라스 영역 형식

초기 섭동이 0이고 계수가 일정하다고 가정하여 라플라스 변환을 취하면

[ H_n sX_n(s)

LX_{n-1}(s)

(L+mV)X_n(s) + mVX_{n+1}(s). ]

이를 정리하면

[ \boxed{ \left[H_n s+(L+mV)\right]X_n(s)

LX_{n-1}(s)+mVX_{n+1}(s) }. ]

이 방정식은 컬럼의 동적 전달함수 또는 상태공간 모델의 한 행입니다.

단일 단계 근사

유입 증기 조성을 (x_{n+1})과 관련된 상태가 아니라 알려진 입력으로 취급하는 경우 다음과 같이 정의합니다.

[ u_n=Lx_{n-1}+Vy_{n+1}. ]

수지는 다음과 같이 됩니다.

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

u_n-(L+mV)x_n. ]

이에 해당하는 전달함수는 다음과 같습니다.

[ \boxed{ \frac{X_n(s)}{U_n(s)}

\frac{1}{H_n s+L+mV} } ]

시간상수는 다음과 같습니다.

[ \boxed{ \tau_n=\frac{H_n}{L+mV} }. ]

입력이 상류 액체 조성뿐이고 증기 기여를 무시하거나 별도로 포함하는 경우에는

[ \frac{X_n(s)}{X_{n-1}(s)}

\frac{L}{H_n s+L+mV}. ]

흡수 및 증류에의 적용

기체-액체 흡수

흡수에서는 실제 기체 조성이 평형 조성을 초과할 때 용질이 일반적으로 기상에서 액상으로 이동합니다.

[ y>y^*(x). ]

평형 기울기 (m)는 액체 조성에 따른 평형 기체 조성의 변화를 나타냅니다. 더 큰 (mV) 항은 기상 결합의 강도를 증가시키고 단계 응답을 변화시킵니다.

충전 흡수탑에서는 동일한 개념을 이산 트레이 수지 대신 분포형 미분 모델로 작성하는 경우가 많습니다. 유한체적 이산화를 적용하면 홀드업과 인접 셀 결합을 갖는 단계와 유사한 방정식이 생성됩니다.

증류

증류에서는 평형 관계를 일반적으로 다음과 같이 나타냅니다.

[ y_i=y^*(x_i), ]

여기서 (y^*(x))는 비선형일 수 있습니다. 운전 조성 주변에서는

[ \delta y_i \approx \left.\frac{dy^*}{dx}\right|{x{i,0}}\delta x_i. ]

국소 기울기는 단계마다 달라질 수 있으므로, 증류 컬럼은 일반적으로 하나의 공통된 (m), (L), (V) 대신 (m_n), (L_n), (V_n), (H_n) 계수를 갖습니다.

경계 조건

내부 단계 방정식만으로는 충분하지 않습니다. 응축기, 재비기, 공급단, 환류 흐름, 증류액 흐름, 잔사 흐름 및 컬럼 끝단이 경계 조건과 조작변수 관계를 제공합니다.

예를 들어 환류는 상부 단계로 유입되는 액체 유량을 변화시키고, 보일업은 하부 단계로 유입되는 증기 유량을 변화시킵니다. 이러한 경계 효과는 제어 외란의 주요 전달 경로인 경우가 많습니다.

가변 홀드업 및 유량으로 모델 확장

총 물질수지

액위 또는 홀드업이 변할 때는 총괄 수지를 포함해야 합니다. 일반적인 액상 홀드업 수지는 다음과 같습니다.

[ \frac{dH_n}{dt}

L_{n-1}-L_n+V_{n+1}-V_n, ]

부호와 흐름 정의는 선택한 단계 규약에 맞게 조정해야 합니다.

그런 다음 성분수지는 성분 홀드업을 기준으로 작성해야 합니다.

[ \frac{d(H_nx_n)}{dt}

\text{component in}

\text{component out}. ]

미분을 전개하면

[ H_n\frac{dx_n}{dt} + x_n\frac{dH_n}{dt}

\text{component in}

\text{component out}. ]

추가된 (x_n,dH_n/dt) 항은 트레이 액위 또는 재비기와 응축기의 홀드업이 크게 변할 때 중요합니다.

에너지 및 압력 효과

정확한 파일럿 플랜트 모델에서는 온도가 평형과 유량 모두에 영향을 미칩니다. 압력은 증기 조성, 포화 조건 및 체적 유량에 영향을 줍니다.

따라서 조성만을 선형화하는 방법은 주로 일정한 온도와 압력의 운전점 주변에서 발생하는 작은 외란에 적합합니다. 더 큰 운전 변화에는 결합된 물질, 에너지 및 압력수지 방정식이 필요합니다.

절충점 이해

선형화 모델의 장점

선형화 모델은 간결하고 계산 효율이 높으며 전달함수 분석에 적합합니다. 시간상수, 단계 간 결합, 외란 감쇠 및 제어 가능성에 대한 직접적인 통찰을 제공합니다.

컬럼이 안정적인 기준 조건 근처에서 운전되는 제어기 조정 및 교육용 파일럿 플랜트 실험에 특히 유용합니다.

일정한 평형 기울기의 한계

조성이나 온도에 따라 상대 휘발도가 크게 변하는 경우 단일 값의 (m)으로는 충분하지 않을 수 있습니다. 또한 공비점, 강한 비이상 혼합물 또는 넓은 운전 범위에서는 이 근사가 실패할 수 있습니다.

이러한 시스템에는 단계별 국소 기울기를 사용하거나 비선형 평형 함수를 유지해야 합니다.

일정한 유량 및 홀드업의 한계

일정한 (L), (V), (H)를 가정하면 액위 동역학과 수력학적 효과가 제외됩니다. 이로 인해 응답 속도가 실제보다 빠르게 예측될 수 있으며, 유량, 압력 및 조성 제어 사이의 중요한 상호작용이 가려질 수 있습니다.

트레이 플러딩, 위핑, 포밍 또는 상당한 액위 변동이 발생할 수 있는 경우 파일럿 플랜트는 측정된 홀드업 또는 독립적으로 모델링된 홀드업을 사용해야 합니다.

운전선과 동적 수지의 혼동

운전선은 상 조성 사이의 정상상태 물질수지 관계를 나타냅니다. 운전선 자체만으로는 조성이 시간에 따라 어떻게 변하는지 설명할 수 없습니다.

동적 모델에는 (H,dx/dt)와 같은 홀드업 항이 필요합니다. 이러한 항을 제거하면 모델은 과도상태 관계가 아닌 정상상태 관계로 바뀝니다.

목표에 맞는 선택

적절한 모델은 목표가 제어 설계인지, 개념적 분석인지, 아니면 고정밀 파일럿 플랜트 예측인지에 따라 달라집니다.

주된 관심사가 제어기 설계인 경우: 의도한 운전점 주변에서 (y^*(x))를 선형화하고, 인접 단계 결합을 유지하며, 방정식을 상태공간 형식으로 구성합니다.
주된 관심사가 단순한 단일 단계 응답인 경우: 유입 증기 조성을 알려진 입력으로 취급하고 1차 전달함수 (1/[Hs+(L+mV)])를 사용합니다.
주된 관심사가 컬럼 전체의 외란 전파인 경우: 모든 단계 방정식에서 (x_{n-1})과 (x_{n+1})을 유지하고 올바른 응축기, 재비기, 공급, 환류 및 제품 경계 조건을 적용합니다.
주된 관심사가 대규모 파일럿 플랜트 과도응답인 경우: 비선형 평형, 가변 홀드업, 변화하는 유량, 그리고 결합된 에너지 및 압력수지를 사용합니다.

타당한 선형화 컬럼 모델은 명확하게 정의된 운전점 주변의 국소 평형 거동을 단순화하면서도 물리적인 단계 연결성을 보존합니다.

요약 표:

핵심 요소	선형화 모델의 통찰
동적 수지	`H_n dx_n/dt = Lx_{n-1} - Lx_n + Vy_{n+1} - Vy_n`
평형 근사	정상 운전점 주변에서 `y=f(x)`를 `delta y=m delta x`로 대체
결합된 단계 방정식	`H_n dx_n/dt = Lx_{n-1} - (L+mV)x_n + mVx_{n+1}`
주요 가정	일정한 홀드업, 액체 및 증기 유량, 그리고 무시할 수 있는 증기상 축적
전달함수 형식	`[H_n s + (L+mV)]X_n = LX_{n-1} + mVX_{n+1}`
단일 단계 시간상수	`tau_n = H_n/(L+mV)`
중요한 인덱싱 사항	유입 증기 항은 `x_{n+1}`과 관련되며, 인접 단계 결합을 유지합니다.
최적 적용 분야	제어기 조정, 외란 분석, 전달함수 및 상태공간 모델링
비선형 모델이 필요한 경우	대규모 외란, 가변 홀드업 또는 유량, 강한 비이상성, 압력 변화 또는 에너지 효과

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