레일리 모델은 단일 단계 배치 증류를 비환류 평형 기화 공정으로 적용합니다. 액체 혼합물을 재비기에 투입하고 가열한 뒤, 재비기에 남아 있는 액체와 기액 평형 상태에 있다고 가정되는 증기를 연속적으로 제거합니다. 이 모델은 더 휘발성인 성분이 우선적으로 기화됨에 따라 액체 보유량과 조성이 어떻게 변하는지를 추적합니다.

핵심 요점: 레일리 방정식은 액체 보유량 감소와 변화하는 액체 및 증기 조성을 연결합니다. 이성분 혼합물의 경우, 액체 조성 (x_B)과 증기 조성 (y) 사이의 평형 관계와 레일리 물질수지를 함께 사용하면 잔류물 조성, 증류액 축적량 및 배치 분리 성능을 예측할 수 있습니다.

레일리 모델이 파일럿 플랜트를 나타내는 방법

단일 단계 배치 운전

파일럿 플랜트는 레일리 증류기로 모델링됩니다. 즉, 잘 혼합된 액체 원료가 들어 있는 재비기, 열원, 그리고 액체 환류 없이 기화된 물질을 수집하는 응축기로 구성됩니다.

정류부와 내부 액체-증기 접촉 과정은 없습니다. 따라서 재비기에 남아 있는 액체는 순간적인 증기 조성을 결정하는 단일 액체상으로 취급됩니다.

미분 증기 제거

가열이 진행되면 증기가 지속적으로 생성되고 제거됩니다. 액체 보유량은 초기값 (B_0)에서 최종값 (B_1)으로 감소합니다.

더 휘발성인 성분이 우선적으로 제거되므로, 남아 있는 액체에서 해당 성분의 몰분율 (x_B)은 일반적으로 배치가 진행되는 동안 감소합니다. 분리가 가능한 경우 순간 증기 조성 (y)은 액체 조성보다 휘발성 성분의 비율이 더 높습니다.

기액 평형 가정

각 순간에 생성된 증기는 증류기 내부의 액체와 평형 상태에 있다고 가정합니다.

[ y = y^*(x_B) ]

이것이 이상적인 레일리 모델을 정의하는 평형 가정입니다. 평형 관계는 실험적 VLE 데이터, 활동도 계수 모델 또는 일정 상대 휘발도 근사식으로부터 얻을 수 있습니다.

지배 방정식

전체 액체 물질수지

(B)를 증류기에 남아 있는 액체의 총 몰수라고 하겠습니다. 축적된 증류액은 다음과 같습니다.

[ H_a = B_0 - B_1 ]

여기서:

(B_0)는 초기 액체량입니다.
(B_1)은 남아 있는 액체량입니다.
(H_a)는 총 응축 증류액입니다.

이 물질수지는 증기 보유량과 물질 손실을 무시할 수 있다고 가정합니다.

미분 레일리 방정식

이성분 혼합물에서 (x_B)를 선택한 휘발성 성분의 액체 몰분율, (y)를 해당 성분의 평형 증기 몰분율이라고 하겠습니다. 미분 성분 물질수지는 다음과 같습니다.

[ B,dx_B = (y-x_B),dB ]

또는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

[ \frac{dB}{B} = \frac{dx_B}{y-x_B} ]

정상 운전 중에는 (B)와 (x_B)가 모두 감소하므로 미분 변화량은 음수입니다. 따라서 이 방정식은 양의 분리 인자 (y-x_B)와도 일관됩니다.

적분 레일리 방정식

초기 상태 ((B_0,x_{B0}))와 최종 상태 ((B_1,x_{B1})) 사이에서 적분하면 다음을 얻습니다.

[ \ln\left(\frac{B_0}{B_1}\right)

\int_{x_{B1}}^{x_{B0}} \frac{dx_B}{y-x_B} ]

이 식은 최종 액체 조성 또는 남아 있는 액체량을 계산하는 데 사용되는 주요 지배 방정식입니다.

동등한 형태는 다음과 같습니다.

[ \ln\left(\frac{B_1}{B_0}\right)

\int_{x_{B0}}^{x_{B1}} \frac{dx_B}{y-x_B} ]

두 식은 동일하며, 적분 구간과 로그의 방향만 다릅니다.

일정 상대 휘발도 모델

평형 관계

상대 휘발도 (\alpha)가 일정한 이성분 혼합물의 경우 증기 조성은 다음과 같이 근사할 수 있습니다.

[ y = \frac{\alpha x_B} {1+(\alpha-1)x_B} ]

여기서

[ \alpha = \frac{K_{\text{volatile}}}{K_{\text{less volatile}}} ]

(\alpha>1)이면 선택한 성분이 더 휘발성이 높으며, 조성 범위 (0<x_B<1)에서 (y>x_B)입니다.

레일리 방정식에 대입

일정한-(\alpha) 평형 관계를 사용하면 다음과 같습니다.

[ y-x_B = \frac{(\alpha-1)x_B(1-x_B)} {1+(\alpha-1)x_B} ]

따라서

[ \frac{1}{y-x_B}

\frac{1+(\alpha-1)x_B} {(\alpha-1)x_B(1-x_B)} ]

적분식은 다음과 같이 됩니다.

[ \ln\left(\frac{B_0}{B_1}\right)

\frac{1}{\alpha-1} \left[ \ln\left(\frac{x_{B0}}{x_{B1}}\right)

\alpha \ln\left( \frac{1-x_{B0}}{1-x_{B1}} \right) \right] ]

이 형태는 상대 휘발도를 합리적으로 일정하다고 간주할 수 있는 이성분 실험실 혼합물에 유용합니다.

성분 몰수 형태

증류기에 남아 있는 휘발성 성분과 저휘발성 성분의 몰수를 다음과 같이 정의합니다.

[ N_{\mathrm{v}}=Bx_B ]

그리고

[ N_{\mathrm{l}}=B(1-x_B) ]

일정 상대 휘발도 결과는 다음과 같이도 나타낼 수 있습니다.

[ \ln\left(\frac{N_{\mathrm{v},1}}{N_{\mathrm{v},0}}\right)

\alpha \ln\left(\frac{N_{\mathrm{l},1}}{N_{\mathrm{l},0}}\right) ]

이 식은 (\alpha>1)일 때 휘발성 성분의 재고량이 저휘발성 성분의 재고량보다 더 빠르게 감소한다는 것을 보여줍니다.

시간과 열 투입량 추가

기화 속도

레일리 방정식은 조성과 보유량의 변화를 설명하지만, 배치가 얼마나 빠르게 진행되는지는 그 자체로 나타내지 않습니다. 기화 속도를 통해 시간을 도입할 수 있습니다.

열 투입량 (Q)과 몰 증발잠열 (\Delta H_{\mathrm{vap}})이 대략 일정하다면, 몰 기화 속도는 다음과 같습니다.

[ \dot n_V = \frac{Q}{\Delta H_{\mathrm{vap}}} ]

액체는 증기로 제거되므로

[ \frac{dB}{dt}=-\dot n_V ]

(Q)와 (\Delta H_{\mathrm{vap}})가 일정한 경우

[ B(t)=B_0-\dot n_V t ]

가정이 더 이상 적용되지 않거나 배치가 중단될 때까지 이 관계가 성립합니다.

조성 변화 동역학

물질수지와 레일리 관계를 결합하면 다음과 같습니다.

[ \frac{dx_B}{dt}

\frac{\dot n_V}{B} (x_B-y) ]

동등하게

[ \frac{dx_B}{dt}

-\frac{\dot n_V}{B} (y-x_B) ]

더 휘발성인 성분의 경우 (y>x_B)이므로 (dx_B/dt)는 음수입니다. 액체에서 해당 성분은 점차 고갈됩니다.

열 투입량의 영향

열 투입량을 늘리면 일반적으로 (\dot n_V)가 증가하여 특정 액체 보유량에 도달하는 데 필요한 시간이 줄어듭니다. 이상적인 가정하에서는 열 투입량이 (B)와 (x_B) 사이의 평형 관계가 아니라 배치의 시간 척도를 변화시킵니다.

실제 운전에서는 과도한 열 투입으로 인해 비말동반, 거품 발생, 비평형 기화, 열 손실 또는 응축기 한계가 발생할 수 있으므로 시간과 조성의 이러한 분리가 성립하지 않을 수 있습니다.

파일럿 플랜트 데이터에 모델 적용

필요한 측정값

일반적인 실험에는 다음 항목이 필요합니다.

초기 액체량 (B_0) 또는 초기 부피와 조성
초기 휘발성 성분 몰분율 (x_{B0})
특정 시간에서의 잔류 액체량 (B_1)
잔류물 조성 (x_{B1})
증류액 축적량 (H_a)
가능한 경우 증기 또는 증류액 조성
가열 속도, 열 투입량 또는 기화 속도

부피 측정값은 혼합물 밀도, 분자량 및 조성을 사용하여 몰수로 환산해야 합니다. 가능한 경우 직접적인 몰수 측정이 더 바람직합니다.

잔류물 예측

(B_0), (x_{B0}) 및 (B_1)이 알려져 있으면 레일리 방정식을 풀어 (x_{B1})을 구할 수 있습니다. 일정-(\alpha) 모델을 사용할 경우 이는 일반적으로 비선형 계산입니다.

잔류물 조성을 대신 측정한 경우에는 다음 식을 사용하여 남아 있는 액체량을 예측할 수 있습니다.

[ B_1 = B_0 \exp\left[ -\int_{x_{B1}}^{x_{B0}} \frac{dx_B}{y-x_B} \right] ]

그런 다음 예측값을 실험적으로 측정한 액체 재고량과 비교할 수 있습니다.

분리 성능 평가

순간 증기 조성은 액체 조성으로부터 다음과 같이 계산됩니다.

[ y_1 = \frac{\alpha x_{B1}} {1+(\alpha-1)x_{B1}} ]

축적된 증류액의 평균 조성은 전체 성분 물질수지로부터 다음과 같이 구할 수 있습니다.

[ \bar y_D = \frac{B_0x_{B0}-B_1x_{B1}} {B_0-B_1} ]

이 평균 증류액 조성은 일반적으로 최종 순간 증기 조성과 같지 않습니다. 배치가 진행되는 동안 증기 조성이 변하므로, 축적된 제품은 운전 이력 전체가 적분된 결과를 나타냅니다.

절충 관계 이해

일정 상대 휘발도는 근사입니다

(\alpha)가 일정하다는 가정은 강한 비이상성 혼합물이나 넓은 조성 범위에는 적합하지 않을 수 있습니다. 상대 휘발도는 온도, 압력 및 조성에 따라 변할 수 있습니다.

보다 높은 정밀도가 필요한 경우 일정-(\alpha) 방정식을 측정된 VLE 데이터 또는 열역학적으로 계산된 VLE 데이터로 대체하고 레일리 적분을 수치적으로 평가해야 합니다.

평형이 이상적인 파일럿 성능을 보장하지는 않습니다

이상적인 모델은 액체를 떠나는 증기가 액체와 평형 상태에 있다고 가정합니다. 실제 장비에서는 과열, 비말동반, 불완전 혼합, 증기 보유, 열 손실 및 샘플링 응답 지연이 발생할 수 있습니다.

이러한 영향으로 인해 측정된 증기 조성이 순간 잔류물 조성으로부터 예측한 평형값과 달라질 수 있습니다.

가열 속도는 지속 시간에 영향을 주지만 결과에는 항상 영향을 주는 것은 아닙니다

이상적인 모델에서 열 투입량은 보유량 감소 속도를 변화시키지만 평형 궤적은 변화시키지 않습니다. 실제 시스템에서는 높은 가열 속도로 인해 거품 발생, 비말동반, 응축기 범람 또는 열전달 및 혼합 성능 부족이 발생하면 이러한 거동에서 벗어날 수 있습니다.

단일 단계는 증류탑이 아닙니다

레일리 모델은 시간이 지남에 따라 반복되는 하나의 평형 기화 단계를 나타냅니다. 이 모델은 이론단, 환류, 탑 보유량, 단 효율, 최소 환류 또는 단간 조성 프로파일을 고려하지 않습니다.

Fenske-Underwood-Gilliland 분석과 같은 방법은 단식 증류탑 설계에 속하며, 파일럿 플랜트에 실제 접촉부가 포함되어 있지 않은 한 단일 단계 레일리 물질수지를 대신하여 사용해서는 안 됩니다.

프로젝트에 적용하는 방법

다음 절차는 실용적인 모델 검증 순서를 제공합니다.

주요 관심사가 잔류물 조성인 경우: 측정되거나 가정된 VLE 관계와 함께 적분 레일리 방정식을 사용하여, 측정된 잔류 액체량에서 (x_{B1})을 계산합니다.
주요 관심사가 배치 지속 시간인 경우: (\dot n_V=Q/\Delta H_{\mathrm{vap}})를 추정하고, 보유량 물질수지를 시간에 대해 적분한 다음 레일리 조성 관계와 결합합니다.
주요 관심사가 증류액 회수율인 경우: (H_a=B_0-B_1)를 계산하고 전체 휘발성 성분 물질수지로부터 축적 증류액 조성을 구합니다.
주요 관심사가 모델 검증인 경우: 시간 정보가 기록된 샘플과 예측된 잔류물 및 증류액 조성을 비교한 뒤, 변화하는 (\alpha), 열 손실, 비말동반 및 비평형 효과를 통해 편차를 조사합니다.
주요 관심사가 공정 설계인 경우: 레일리 모델을 비환류 배치의 기준 모델로 사용하고, 파일럿 플랜트에 단, 충전물, 환류 또는 상당한 내부 보유량이 포함된 경우에는 단계적 동적 모델을 사용합니다.

레일리 모델은 재비기 액체가 점차 고갈됨에 따라 단일 단계 배치 증류가 이성분 혼합물을 어떻게 분리하는지 이해하기 위한 필수적인 이론적 기준을 제공합니다.

요약 표:

주제	핵심 방정식 또는 원리	적용
액체 물질수지	Hₐ = B₀ − B₁	축적된 증류액 계산
레일리 방정식	dB/B = dxᴮ/(y − xᴮ)	액체 보유량과 조성 변화의 관계를 나타냄
적분 모델	ln(B₀/B₁) = ∫ dxᴮ/(y − xᴮ)	잔류물 조성 또는 남아 있는 액체 예측
VLE 관계	y = y*(xᴮ)	순간 증기 조성 결정
일정 상대 휘발도	y = αxᴮ/[1 + (α − 1)xᴮ]	이성분 혼합물 계산 단순화
기화 속도	ṅᵥ = Q/ΔHᵥₐₚ	열 투입량과 배치 지속 시간 연결
평균 증류액 조성	ȳᴰ = (B₀xᴮ₀ − B₁xᴮ₁)/(B₀ − B₁)	전체 분리 성능 평가
모델의 한계	평형, 이상적 혼합 및 무시할 수 있는 손실을 가정	파일럿 플랜트 편차의 원인 파악

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