점성 유체 흐름의 경우, 에너지 수지는 총 에너지를 열적 기여도와 기계적 기여도로 분리하여 공식화됩니다. 총 에너지 방정식은 내부 에너지, 운동 에너지, 위치 에너지를 추적하는 동시에 열전도와 압력 및 점성 응력에 의한 일을 고려합니다. 여기서 기계적 에너지 수지를 빼면 압축 또는 팽창에 의한 열 효과와 점성 소산을 통해 기계적 에너지가 열로 비가역적으로 변환되는 효과가 드러납니다.

지배 방정식은 총 에너지 수지와 기계적 에너지 수지를 결합합니다. 점성 유체의 경우, 내부 에너지 방정식에는 열전도, 압력-일 효과, 그리고 고점도 또는 고전단 작업에서 중요할 수 있는 점성 소산 항(\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v})이 포함되어야 합니다.

총 에너지 수지로 시작하기

유체 입자의 에너지

단위 질량당 실질적인 총 에너지는 다음과 같습니다.

[ e_t = u + \frac{v^2}{2} + gz ]

여기서 (u)는 내부 에너지, (v^2/2)는 운동 에너지, (gz)는 위치 에너지입니다.

유체 입자에 대한 제1법칙 수지는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

[ \rho \frac{D e_t}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{v}) + \rho \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

여기서 (\rho)는 밀도, (\mathbf{q})는 전도성 열유속, (\boldsymbol{\sigma})는 총 응력 텐서, (\mathbf{b})는 단위 질량당 체적력, (\dot{q}_v)는 모든 체적 열원을 나타냅니다.

열전도

푸리에 법칙은 전도성 열유속을 다음과 같이 정의합니다.

[ \mathbf{q}=-k\nabla T ]

따라서 에너지 수지에 대한 전도성 기여도는 다음과 같습니다.

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}

\nabla\cdot(k\nabla T) ]

열전도도가 일정할 경우, 이는 (k\nabla^2T)가 됩니다.

정지된 고체 벽면에서 비슬립(no-slip) 조건에 따라 벽면의 유체 속도는 0입니다. 결과적으로 경계를 가로지르는 열전달은 벽면 수직 방향의 전도성 플럭스로 표현됩니다.

[ q_w=-k\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_w ]

벽면 온도 구배는 열교환기, 증발기, 냉각 코일 및 반응기 재킷에서 사용되는 국부 열전달률을 결정합니다.

응력 일

응력 텐서는 일반적으로 다음과 같이 분해됩니다.

[ \boldsymbol{\sigma}=-P\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

여기서 (P)는 압력, (\boldsymbol{\tau})는 편차 응력 또는 점성 응력 텐서입니다.

응력-일 항은 압력 일과 점성 응력 일을 모두 포함합니다. 압력 일은 주로 가역적인 기계적 에너지 전달을 나타내는 반면, 점성 응력은 비가역적으로 열 에너지를 생성할 수 있기 때문에 이 구분은 필수적입니다.

열 에너지 수지 유도

내부 에너지 형태

총 에너지 방정식에서 운동 에너지와 위치 에너지를 분리하고 운동량 수지를 사용한 후의 내부 에너지 방정식은 다음과 같습니다.

[ \rho\frac{D u}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q}

P\nabla\cdot\mathbf{v} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

여기서 (\mathbf{v})는 속도장이며, 콜론(:)은 두 텐서의 이중 축약을 나타냅니다.

각 항의 물리적 의미는 다음과 같습니다.

• (-\nabla\cdot\mathbf{q}): 유체 요소로 들어오는 순 전도성 열.
• (-P\nabla\cdot\mathbf{v}): 가역적 압력-부피 일.
• (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}): 기계적 에너지가 내부 에너지로 비가역적으로 변환되는 점성 변환.
• (\dot{q}_v): 외부에서 지정된 체적 열 발생.

온도-압력 형태

열역학적으로 특성화된 유체의 경우, 내부 에너지 미분은 온도와 압력으로 표현할 수 있습니다. 유용한 열 수지 형태는 다음과 같습니다.

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \left[ 1- \frac{T}{\rho} \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_P \right] \frac{D P}{D t} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

정확한 압력 계수는 사용된 열역학적 변수와 상태 방정식에 따라 다릅니다. 중요한 물리적 기여 요소는 압력 유도 열 효과와 점성 소산입니다.

(k)가 일정할 때, 전도 항은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}=k\nabla^2T ]

압축성 및 압력 효과

(DP/Dt)를 포함하는 항은 압축 및 팽창과 관련된 가역적인 가열 또는 냉각을 설명합니다. 이는 기체, 압축성 액체, 급격한 압력 과도 현상 또는 강하게 가압된 장비와 같이 밀도 변화가 현저할 때 가장 중요합니다.

물성이 거의 일정한 비압축성 액체의 경우, 이 압력-온도 기여도는 열 방정식에서 종종 무시될 수 있습니다. 하지만 압력은 별도의 기계적 에너지 수지에서는 여전히 중요할 수 있습니다.

점성 소산 고려

일반 점성 가열 항

항

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

은 단위 부피당 점성 기계적 에너지가 열로 변환되는 속도입니다.

이는 물리적으로 허용 가능한 뉴턴 유체에 대해 음수가 아니며, 속도 구배로 인해 발생하는 비가역적인 내부 가열을 나타냅니다.

뉴턴 유체

뉴턴 유체의 경우,

[ \boldsymbol{\tau}

\mu\left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

여기서 (\mu)는 동점성 계수, (\lambda)는 제2점성 계수입니다.

따라서 소산 함수는 다음과 같습니다.

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

일정한 점도를 가진 비압축성 흐름의 경우, 일반적으로 변형률 텐서 (\mathbf{D})를 사용하여 다음과 같이 표현됩니다.

[ \Phi_v=2\mu,\mathbf{D}:\mathbf{D} ]

단위 조작에서 점성이 중요한 이유

저점도, 저전단 흐름에서는 점성 가열이 장비 벽을 통해 교환되는 열에 비해 작을 수 있습니다. 그러나 폴리머, 중유, 농축된 생물학적 유체 및 집중적인 혼합 작업에서는 주요 내부 열원이 될 수 있습니다.

그 결과 장비가 외부에서 냉각되더라도 유체 온도가 상승할 수 있습니다. 이러한 시스템에서 (\Phi_v)를 생략하면 잘못된 출구 온도, 열전달 계수, 체류 시간 예측 및 냉각 부하 요구 사항을 초래할 수 있습니다.

기계적 에너지 수지 공식화

단위 질량당 기계적 에너지

흐르는 유체의 기계적 에너지 함량은 일반적으로 압력, 운동 및 위치 항으로 표현됩니다.

[ \frac{P}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz ]

단위 조작을 통한 정상 흐름의 경우, 단위 질량당 실용적인 기계적 에너지 수지는 다음과 같습니다.

[ \frac{P_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + gz_1 + w_s

\frac{P_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + gz_2 + F ]

여기서 (w_s)는 유체에 공급되는 축 일이고, (F)는 마찰 및 기타 비가역적 효과로 인한 단위 질량당 기계적 에너지 손실입니다.

재배열하면 다음과 같습니다.

[ w_s

\frac{P_2-P_1}{\rho} + \frac{v_2^2-v_1^2}{2} + g(z_2-z_1) + F ]

(w_s)의 부호는 사용된 관례에 따라 다릅니다. 위 방정식은 양의 (w_s)를 유체에 공급되는 일로 정의합니다.

미분 기계적 수지

미분 형태는 응력 일을 속도장에 투영하여 운동량 방정식으로부터 유도할 수 있습니다. 이는 압력 구배 일, 체적력 일, 운동 에너지 변화, 축 일 및 점성 손실을 설명합니다.

실제 파일럿 플랜트 계산에서는 펌프나 압축기 일을 압력 상승, 속도 변화, 높이 변화 및 마찰 손실과 직접적으로 연결하기 때문에 적분 형태가 일반적으로 더 유용합니다.

비압축성 흐름을 위한 기계적 수지

일정 밀도 액체 흐름의 경우, 일반적으로 사용되는 표현식은 다음과 같습니다.

[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F

w_s ]

질량 유량으로 곱하면 축 동력 요구 사항이 나옵니다.

[ \dot W_s

\dot m \left[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F \right] ]

이 관계식은 펌프 선정과 파이프, 피팅, 열교환기, 필터, 믹서 및 기타 모듈을 통한 압력 손실 예측을 지원합니다.

기계적 손실과 열 발생의 연결

마찰은 자동으로 벽면 열유속이 되지 않습니다

마찰 항 (F)은 기계적 에너지 저하를 나타냅니다. 이를 자동으로 벽면을 통해 전달되는 열로서 열 수지에 삽입해서는 안 됩니다.

손실된 기계적 에너지의 일부는 점성 소산을 통해 국부적으로 내부 에너지로 변환됩니다. 나머지는 유체에 의해 운반되어 최종적으로 장비 표면이나 주변으로 전달될 수 있습니다.

국부 수지 대 전체 수지

미분 열 방정식은 국부 발생 항인 (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v})를 사용합니다.

전체 기계적 수지는 적분된 손실 (F)을 사용합니다. 이 양들은 공간 적분을 통해 관련되어 있지만, 흐름장과 제어 체적을 고려하지 않고는 서로 교환할 수 없습니다.

이러한 구분은 열 수지와 기계적 수지가 동일한 단위 조작에 적용될 때 마찰 가열이 이중으로 계산되는 것을 방지합니다.

열과 일은 서로 다른 전달 방식입니다

열은 온도 차이 때문에 시스템 경계를 가로지릅니다. 일은 기계적, 전기적, 압력 또는 축 힘을 통해 경계를 가로지릅니다.

펌프나 교반기는 공정에 일을 공급하고, 냉각 재킷은 열을 제거합니다. 기계적 일이 결국 열 에너지로 나타날 수 있다는 사실이 원래의 축 일 전달을 열전달로 만드는 것은 아닙니다.

상충 관계 이해

비압축성 근사

많은 액체 단위 조작에서 밀도, 점도 및 열전도도는 상수로 취급됩니다. 이는 열 수지를 다음과 같이 단순화합니다.

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

k\nabla^2T + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

이 근사는 작동 범위 내에서 압력 유도 밀도 및 물성 변화가 미미할 때만 적절합니다.

점성 소산 무시

점성 항을 생략하면 방정식은 일반적인 대류-전도 수지로 축소됩니다. 이는 저점도 유체에는 합리적일 수 있지만, 좁은 통로, 높은 회전 속도, 강한 혼합 또는 강한 전단 박화 물질에는 안전하지 않을 수 있습니다.

관련된 비교는 점도 자체가 아니라 점성 열 발생과 벽면 열 제거 사이의 비교입니다.

정상 상태 가정

정상 상태에서는 국부 축적이 사라질 수 있지만, 대류 전달, 전도, 압력 효과, 점성 소산 및 열 교환은 여전히 중요할 수 있습니다.

정상 상태라고 해서 열 수지가 무시할 수 있다는 의미는 아닙니다. 이는 고정된 위치에서 온도장이 더 이상 시간에 따라 변하지 않는다는 것을 의미합니다.

베르누이형 단순화

점성 손실, 축 일, 열 효과 및 압축성이 무시 가능하다면, 기계적 수지는 베르누이형 관계로 축소됩니다. 이는 이상적인 흐름에는 유용하지만, 실제 펌프 크기를 결정하거나 고점도 장비를 분석하는 데는 일반적으로 충분하지 않습니다.

프로젝트에 적용하는 방법

올바른 수지는 목표가 온도 예측인지, 장비 작업 계산인지, 아니면 두 효과를 모두 평가하는 것인지에 따라 달라집니다.

• 주요 초점이 온도 예측인 경우: 전도, 대류, 관련 압력 유도 열 효과, 점성 소산 및 체적 열 발생을 포함하는 내부 에너지 또는 온도 방정식을 사용하십시오.
• 주요 초점이 펌프 또는 압축기 크기 결정인 경우: 압력 변화, 운동 에너지 변화, 높이 변화, 마찰 손실 및 축 일을 포함하는 기계적 에너지 수지를 사용하십시오.
• 주요 초점이 고점도 또는 고전단 작업인 경우: (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v})를 유지하고 점성 가열이 온도장을 실질적으로 변화시키는지 평가하십시오.
• 주요 초점이 압축성 또는 급격한 가압 흐름인 경우: (DP/Dt) 열역학 항을 유지하고 일관된 상태 방정식 및 물성 모델을 사용하십시오.
• 주요 초점이 전체 단위 조작 부하인 경우: 마찰 에너지가 이중으로 계산되지 않도록 주의하면서 국부 열 수지와 적분 기계적 수지를 결합하십시오.

신뢰할 수 있는 공식은 열 전달, 기계적 에너지 및 이들의 비가역적 변환을 명시적으로 연결하되 물리적으로는 별도로 유지합니다.

요약 표:

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