채널 내 두 비혼합 액체 층의 정상 상태, 완전 발달 흐름의 경우, 지배 방정식은 각 상에 대한 하나의 운동량 방정식으로 축소되며, 벽면 및 액체-액체 계면 조건에 의해 결합됩니다. 비압축성 뉴턴 유체의 경우, 질량 보존은 발산 없는(divergence-free) 속도장을 요구하며, 운동량 보존은 나비에-스토크스 방정식으로 기술됩니다. 일반적인 평행판 근사에서 각 상의 축 방향 속도는 채널 전체에 걸쳐 이차 함수 형태를 띠며, 적분 상수는 벽면에서의 점착 조건(no-slip)과 계면에서의 속도 및 전단 응력 연속성에 의해 결정됩니다.

속도 프로파일은 각 상의 압력 구배에 의해 구동되는 운동량 균형에 의해 결정됩니다. 점도 차이는 상별 운동량 방정식을 통해 프로파일에 영향을 미치며, 계면 조건은 액체 간의 물리적으로 일관된 운동과 응력 전달을 강제합니다.

해결해야 할 사항

각 상의 연속 방정식

밀도가 일정한 비압축성 상의 경우, 연속 방정식은 다음과 같습니다.

[ \nabla \cdot \mathbf{v}^{(i)} = 0, \qquad i=1,2 ]

여기서 (\mathbf{v}^{(i)})는 상 (i)의 속도장입니다.

정상 상태, 완전 발달, 단방향 채널 흐름의 경우,

[ \mathbf{v}^{(i)} = \left(v_x^{(i)}(y),0,0\right) ]

이며, 축 방향 속도가 횡 방향으로만 변하기 때문에 연속 방정식은 자동으로 만족됩니다.

운동량 보존

각 상에 대한 일반적인 비압축성 뉴턴 운동량 방정식은 다음과 같습니다.

[ \rho_i \frac{D\mathbf{v}^{(i)}}{Dt}

\rho_i\mathbf{g} -\nabla P^{(i)} +\mu_i\nabla^2\mathbf{v}^{(i)} ]

여기서 (\rho_i), (\mu_i), (P^{(i)})는 상 (i)의 밀도, 동점도, 압력입니다.

이 방정식에는 과도 및 대류 가속도, 중력, 압력 힘, 점성 운동량 확산이 포함됩니다.

완전 발달 축 방향 흐름

흐름이 정상 상태이고 완전히 발달했으며 주로 축 방향 압력 구배에 의해 구동될 때, 축 방향 운동량 방정식은 다음과 같이 됩니다.

[ 0

-\frac{dP^{(i)}}{dx} + \mu_i\frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2} ]

또는 동일하게,

[ \frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2}

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

각 액체 층에 대해 성립합니다.

결과적인 속도 분포는 다음과 같습니다.

[ v_x^{(i)}(y)

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx}\frac{y^2}{2} + a_i y+b_i ]

여기서 (a_i)와 (b_i)는 경계 및 계면 조건에 의해 결정되는 적분 상수입니다.

고체 벽면에서의 경계 조건

점착 조건 (No-Slip Condition)

정지된 고체 벽면에서 접선 방향 유체 속도는 벽면 속도와 같습니다. 기준 구성의 2층 구조에서,

[ v_x^{(1)}(H_1)=0 ]

및

[ v_x^{(2)(-H_2)=0 ]

이며, 상 1은 계면과 상부 벽 사이 영역을, 상 2는 하부 벽과 계면 사이 영역을 차지합니다.

이 조건들은 적분 상수를 결정하는 데 필요한 4개의 방정식 중 2개를 제공합니다.

침투 불가 조건 (No-Penetration Condition)

불투과성 정지 벽면에서 법선 방향 속도는 0입니다:

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(i)}=0 ]

이 조건은 액체가 채널 벽을 통과하는 것을 방지합니다. 이상적인 단방향 해법에서는 벽면 법선 방향 속도 성분이 없으므로 이미 표현되어 있습니다.

이동 또는 다공성 벽면

벽면이 이동하는 경우, 접선 방향 조건은 0이 아니라 다음과 같이 됩니다.

[ \mathbf{v}_t=\mathbf{V}_{w,t} ]

다공성 또는 반응성 벽면은 유체나 화학종이 경계를 통과할 수 있으므로 별도의 법선 방향 유속 조건이 필요합니다.

액체-액체 계면에서의 조건

운동학적 계면 조건

(y=0)에 위치한 정지 계면에서 법선 방향 속도는 계면 위치와 호환되어야 합니다. 불투과성, 비반응성 계면의 경우,

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(1)}

\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(2)} ]

평행하고 완전히 발달된 구성의 경우, 두 법선 방향 속도는 모두 0입니다.

계면이 이동하거나 변형되는 경우, 그 속도는 해당 운동학적 조건을 만족해야 합니다. 이때 계면 위치는 미지수의 일부가 됩니다.

접선 방향 속도 연속성

계면 미끄럼이 없는 두 일반적인 비혼합 뉴턴 액체의 경우,

[ v_x^{(1)}(0)=v_x^{(2)}(0) ]

이 조건은 액체 층들이 상호 경계에서 동일한 접선 방향 속도를 갖도록 보장합니다.

이는 적분 상수를 결정하는 데 필요한 세 번째 관계식을 제공합니다.

접선 방향 응력 연속성

계면에 표면 장력 구배에 의한 접선 방향 응력이 없을 때, 점성 전단 응력은 연속적입니다:

[ \mu_1\frac{dv_x^{(1)}}{dy}(0)

\mu_2\frac{dv_x^{(2)}}{dy}(0) ]

이는 점도가 다를 때 필수적입니다. 전단 응력이 균형을 유지하도록 계면을 가로질러 속도 구배가 일반적으로 변합니다.

이는 두 개의 이차 속도 프로파일에 있는 4개의 적분 상수를 결정하기 위한 네 번째 관계식을 제공합니다.

법선 방향 응력 및 표면 장력

완전한 2상 모델은 계면에서의 법선 방향 응력 조건도 필요로 합니다. 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

[ \mathbf{n}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\gamma\kappa ]

여기서 (\boldsymbol{\tau})는 전체 응력 텐서, (\gamma)는 계면 장력, (\kappa)는 계면 곡률입니다.

일정한 계면 장력을 가진 평평한 정지 계면의 경우, 곡률은 0이며 법선 방향 응력 조건은 법선 응력의 동일성으로 축소됩니다. 이 조건은 계면이 변형되거나 채널이 평면이 아니거나 모세관 힘이 상 분포를 제어할 때 특히 중요해집니다.

마랑고니 효과 (Marangoni Effects)

계면 장력이 온도나 조성에 따라 변하면 접선 방향 응력은 단순히 연속적이지 않습니다. 그 점프(jump)는 표면 장력 구배에 의해 균형을 이룹니다:

[ \mathbf{t}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\nabla_s\gamma\cdot\mathbf{t} ]

여기서 (\nabla_s)는 표면 구배를 나타냅니다.

계면에서 조성이 균일한 등온 액체의 경우, 이 항은 일반적으로 무시됩니다.

채널 입구 및 출구에서의 조건

지정된 입구 흐름

파일럿 플랜트 모델은 일반적으로 입구 속도 프로파일, 상 유량 또는 총 부피 유량을 지정합니다. 완전 발달 입구는 다음과 같이 규정될 수 있습니다.

[ v_x^{(i)}(y)=v_{\text{in}}^{(i)}(y) ]

또는 상 유량을 통해,

[ Q_i=\int_{A_i}v_x^{(i)},dA ]

입구 사양은 상 분포 및 계면 위치와 일관되어야 합니다.

지정된 압력 구배

길고 완전히 발달된 채널의 경우, 압력 구배가 제어 입력이 될 수 있습니다:

[ \frac{dP^{(i)}}{dx} ]

많은 병류 채널 구성에서 축 방향 압력 구배는 두 상 모두에 공통적이지만, 점도와 층 두께가 다르기 때문에 결과적인 속도 프로파일은 다릅니다.

출구 조건

출구에서 모델은 압력, 발달된 흐름 조건 또는 적절한 대류 유출 조건을 지정할 수 있습니다. 선택은 파일럿 플랜트가 압력 구동식인지, 유량 제어식인지, 또는 하류 장비에 연결되어 있는지에 따라 달라집니다.

출구 조건은 발달 중인 계면이나 속도장에 인위적인 제약을 가하지 않아야 합니다.

점도 차이가 중요한 이유

프로파일의 서로 다른 곡률

각 속도 프로파일의 곡률은 다음 값에 비례합니다.

[ \frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

동일한 압력 구배에서 점도가 낮은 상은 점도가 높은 상보다 더 큰 속도 곡률을 보입니다.

응력 균형이 구배 변화를 제어

계면에서 접선 방향 속도는 연속적이지만, 속도 구배는 그럴 필요가 없습니다. 응력 조건은 다음을 요구합니다.

[ \mu_1\left.\frac{dv_x^{(1)}}{dy}\right|_{0}

\mu_2\left.\frac{dv_x^{(2)}}{dy}\right|_{0} ]

따라서 점도비는 층 간에 운동량이 분배되는 방식을 변화시킵니다.

단위 조작에 미치는 결과

결과적인 속도장은 체류 시간 분포, 계면 갱신, 압력 강하, 상 홀드업(holdup), 물질 전달 면적 및 분리 성능에 영향을 미칩니다.

이러한 효과는 액체-액체 추출 모듈, 층류 반응기, 막 접촉 장치 및 기타 채널형 파일럿 장비에서 중요합니다.

트레이드오프 이해

완전 발달 가정

이차 방정식 해는 입구 효과가 무시할 수 있게 된 후에만 유효합니다. 입구, 분배기, 굴곡부, 수축부 및 상 분리 장치 근처에서는 축 방향 발달과 2차 흐름을 위해 전체 다차원 방정식이 필요할 수 있습니다.

평평한 계면 가정

(y=0)에 고정된 계면은 계면 변형과 모세관 진화를 배제합니다. 이는 유량이 높거나, 채널 치수가 작거나, 계면 장력이 낮거나, 상 특성이 상당한 압력 차이를 생성할 때 부적절할 수 있습니다.

층류 가정

단순화된 상미분 방정식은 점성, 완전 발달 흐름을 기술하며 층류 조건에서 가장 직접적으로 적용됩니다. 채널이 천이 또는 난류 영역으로 진입하면 추가적인 폐쇄 관계식과 난류 모델링이 필요할 수 있습니다.

레이놀즈 수는 수력학적 평균 직경과 같은 적절한 수력학적 치수를 기준으로 해야 합니다.

[ d_m=\frac{4A}{p} ]

계면 점착 가정

속도 연속성은 계면 미끄럼을 무시합니다. 일부 특수 시스템에서는 계면활성제, 오염, 계면 유변학 또는 마이크로 스케일 효과가 계면 조건을 변경하여 계면 구성 모델이 필요할 수 있습니다.

일정한 물성 가정

기준 방정식은 일정한 점도와 밀도를 가정합니다. 강한 온도나 조성 구배는 (\mu_i)와 (\rho_i)를 변수로 만들어 운동량을 에너지 및 화학종 균형과 결합시킬 수 있습니다.

목표에 맞는 올바른 선택

2상 채널 파일럿 플랜트를 나타낼 때 다음 모델 선택 원칙을 사용하십시오:

주요 초점이 완전 발달된 압력 구동 흐름인 경우: 벽면 점착, 계면에서의 접선 방향 속도 연속성 및 접선 방향 응력 연속성을 적용하여 상별 축소 운동량 방정식을 풉니다.
주요 초점이 계면 위치나 상 홀드업인 경우: 표면 장력과 곡률을 포함하여 운동학적 계면 조건과 법선 방향 응력 균형을 추가합니다.
주요 초점이 입구, 분배기 또는 회전 영역 거동인 경우: 전체 과도 또는 정상 상태 다차원 나비에-스토크스 방정식을 유지하고 물리적으로 일관된 입구, 출구, 벽면 및 계면 조건을 부과합니다.
주요 초점이 물질 전달 또는 반응인 경우: 흐름 방정식을 화학종 보존과 결합하고 입구, 벽면 및 액체-액체 계면에 농도 또는 유속 조건을 부과합니다.
주요 초점이 스케일업 및 압력 강하 예측인 경우: 적절한 수력학적 직경, 레이놀즈 수 영역, 벽면 거칠기, 상 유량 및 물성 변화를 포함합니다.

신뢰할 수 있는 2상 파일럿 플랜트 모델은 미분 방정식뿐만 아니라 실제 장비가 어떻게 작동하는지를 정확하게 나타내는 경계 및 계면 조건에 의해 정의됩니다.

요약 표:

모델 요소	지배 요구사항	목적
연속성	`∇ · v⁽ⁱ⁾ = 0`	각 상의 비압축성 질량 보존 보장
운동량	`ρᵢ Dv⁽ⁱ⁾/Dt = ρᵢg − ∇P⁽ⁱ⁾ + μᵢ∇²v⁽ⁱ⁾`	압력, 중력, 관성 및 점성 효과 기술
완전 발달 흐름	`0 = −dP⁽ⁱ⁾/dx + μᵢ d²vₓ⁽ⁱ⁾/dy²`	각 층의 이차 속도 프로파일 생성
고체 벽면	점착 및 침투 불가 조건	정지, 이동 또는 다공성 벽면에서의 유체 운동 정의
액체-액체 계면	법선 방향 속도 호환성 및 접선 방향 속도 연속성	물리적으로 일관된 상 경계 유지
전단 응력	`μ₁ dvₓ⁽¹⁾/dy = μ₂ dvₓ⁽²⁾/dy`	계면을 가로지르는 운동량 전달 균형
법선 응력	`γκ`에 의한 응력 점프 균형	계면 변형 시 곡률 및 표면 장력 고려
마랑고니 효과	`∇ₛγ`에 의한 접선 응력 점프 균형	온도 또는 조성에 의한 표면 장력 구배 표현
입구 및 출구	지정된 유량, 속도, 압력 또는 발달된 흐름 조건	실제 파일럿 플랜트 작동과 모델 일치
확장 모델	에너지, 화학종, 난류 및 가변 물성 방정식	물질 전달, 반응, 스케일업 및 비이상적 작동 조건 지원

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