해석적 방법은 회전하는 물체 주위의 스토크스 유동장을 해석하고, 표면 전단 응력을 계산한 다음, 해당 응력을 적분하여 토크를 구하는 것입니다. 반지름이 (R)이고 각속도가 (\omega)인 구가 점도 (\mu)의 뉴턴 유체에 잠겨 회전하는 경우, 저레이놀즈수 해는 저항 토크를 다음과 같이 나타냅니다.

[ G=-8\pi\mu\omega R^3 ]

여기서 음의 부호는 유체역학적 토크가 회전에 반대 방향으로 작용함을 의미합니다.

크리핑 유동에서는 토크가 전적으로 점성 응력에 의해 결정됩니다. 회전하는 표면의 경계 조건을 적용하여 선형 스토크스 방정식을 풀고, 표면에서 접선 응력을 계산한 다음, 물체에 대한 그 모멘트를 적분합니다.

스토크스 유동 방법이 적용되는 이유

무시할 수 있는 유체 관성

이 방법은 레이놀즈 수가 충분히 작아 점성 항에 비해 관성 항을 무시할 수 있을 때 적용됩니다. 지배 운동량 방정식은 다음과 같이 됩니다.

[ -\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}=0, \qquad \nabla\cdot\mathbf{v}=0 ]

정지해 있는 유체 속에서 회전하는 구의 경우, 유동은 축대칭이며 순수한 방위각 방향 유동입니다.

토크와 속도 사이의 선형 관계

스토크스 방정식은 선형이므로 토크는 각속도에 정비례합니다. 또한 유체 점도와 구 반지름의 세제곱에도 정비례합니다.

[ |G|=8\pi\mu\omega R^3 ]

이 비례 관계는 병진하는 구에 대한 선형 항력 법칙의 회전 유사체입니다.

회전 유동장 해석

경계 조건 적용

구의 중심을 원점으로 하는 구면좌표를 사용합니다. 축을 중심으로 회전하는 구의 속도 조건은 다음과 같습니다.

[ v_r=0, \qquad v_\theta=0, \qquad v_\phi(R,\theta)=\omega R\sin\theta ]

마지막 조건은 구 표면의 접선 속도를 나타냅니다. 구에서 멀리 떨어진 곳에서는 유체가 정지해 있습니다.

[ v_\phi(r,\theta)\rightarrow 0 \quad \text{as} \quad r\rightarrow\infty ]

방위각 속도 결정

이러한 조건에서 스토크스 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.

[ v_\phi(r,\theta)

\frac{\omega R^3\sin\theta}{r^2} ]

속도는 (1/r^2)에 따라 감소하며, 이는 크리핑 유동에서 회전 교란이 국소적으로 발생함을 나타냅니다.

유동 분포 해석

유체 속도는 (\sin\theta=1)인 구의 적도에서 가장 크고, 회전축에서는 0이 됩니다. 전체 유동장은 회전하는 표면과 주변 유체 사이의 점성 결합에 의해 형성됩니다.

표면 전단 응력 계산

접선 응력 평가

축대칭 방위각 유동에서 관련된 구면좌표 응력 성분은 다음과 같습니다.

[ \tau_{r\phi}

\mu \left( \frac{\partial v_\phi}{\partial r}

\frac{v_\phi}{r} \right) ]

속도장을 대입하고 (r=R)에서 평가하면 다음을 얻습니다.

[ \tau_{r\phi}(R,\theta)

-3\mu\omega\sin\theta ]

음의 부호는 유체 응력이 구의 회전에 반대 방향으로 작용함을 나타냅니다.

토크 팔 고려

극각 (\theta)에 위치한 표면 요소와 회전축 사이의 수직 거리는 다음과 같습니다.

[ R\sin\theta ]

따라서 미소 토크는 표면 요소에 작용하는 접선 방향 힘에 이 모멘트 팔을 곱한 값입니다.

토크 적분

구 전체에 대해 적분

표면적 요소는 다음과 같습니다.

[ dA=R^2\sin\theta,d\theta,d\phi ]

따라서 전체 토크는 다음과 같습니다.

[ G

\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \tau_{r\phi}(R,\theta) (R\sin\theta) R^2\sin\theta ,d\theta,d\phi ]

전단 응력을 대입하면 다음과 같습니다.

[ G

-3\mu\omega R^3 \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta ]

다음 식을 사용하면

[ \int_0^{2\pi}d\phi=2\pi, \qquad \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta=\frac{4}{3} ]

다음 결과를 얻습니다.

[ \boxed{G=-8\pi\mu\omega R^3} ]

회전을 유지하기 위해 가해야 하는 토크는 크기가 같고 부호가 반대입니다.

[ \boxed{G_{\text{applied}}=8\pi\mu\omega R^3} ]

토크와 동력의 관계

회전을 유지하는 데 필요한 점성 동력은 다음과 같습니다.

[ P=|G|\omega ]

회전하는 구의 경우 다음과 같습니다.

[ \boxed{P=8\pi\mu\omega^2R^3} ]

이는 유체로 소산되는 기계적 동력을 직접 추정할 수 있도록 합니다.

단위 조작으로의 방법 확장

회전 저항 계수 사용

다른 침수 물체에 대해서도 동일한 절차를 회전 저항 계수를 통해 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

[ G=-\zeta_r\omega ]

구의 경우에는 다음과 같습니다.

[ \zeta_r=8\pi\mu R^3 ]

이 계수는 물체 형상, 구속 조건, 벽과의 근접성 및 다른 이동 표면의 존재 여부에 따라 달라집니다.

교반기에 방법 적용

저속·고점도 단위 조작에서 임펠러 또는 회전 교반기에 필요한 토크는 크리핑 유동장을 해석하거나 적절한 저항 계수를 결정하여 구할 수 있습니다. 이렇게 얻은 토크는 전단 응력, 동력 소산 및 모터 요구 사항 계산에 활용됩니다.

국부량과 전체량 구분

응력 분포는 표면 전반에 걸친 국부 유체 하중을 나타냅니다. 적분된 토크는 장비 선정 및 동력 계산에 필요한 전역량입니다.

상충 관계 이해

저레이놀즈수 가정의 제한성

이 해석 결과는 유체 관성이 무시할 수 있다고 가정합니다. 레이놀즈 수가 더 이상 작지 않으면 대류 관성이 속도장과 응력장을 변화시키며, (G\propto\mu\omega R^3) 관계식이 더 이상 적절하지 않을 수 있습니다.

구에 대한 결과는 보편적이지 않음

계수 (8\pi)는 무한히 넓은 뉴턴 유체 속에서 회전하는 고립된 구에만 적용됩니다. 이 계수를 임펠러, 원통, 벽 근처의 입자 또는 제한된 용기에 직접 적용해서는 안 됩니다.

뉴턴 유체 거동 가정

이 유도 과정은 점도가 일정하고 뉴턴 유체의 구성 방정식을 따른다고 가정합니다. 고분자 용액, 현탁액, 생물학적 유체 및 기타 비뉴턴 물질에는 수정된 응력 모델과 다른 토크-속도 관계가 필요할 수 있습니다.

경계 효과가 중요할 수 있음

벽과 인접 표면은 속도장을 변화시키고 유체역학적 저항을 증가시킵니다. 따라서 파일럿 플랜트 장비에서는 벽 보정 계수, 수치적 스토크스 유동 해석 또는 실험적 보정이 필요할 수 있습니다.

목적에 맞는 방법 선택

구에 대한 해석해는 기준이자 실용적인 초기 계산 방법이지만, 장비에 적용하기 전에 형상과 유동 영역을 확인해야 합니다.

주요 관심사가 고립된 회전 구의 토크 추정인 경우: (G=-8\pi\mu\omega R^3)를 사용하며, 부호는 가해진 회전에 대한 저항을 나타냅니다.
주요 관심사가 저속 교반기의 선정인 경우: 구의 계수를 직접 적용하지 말고 교반기 형상에 따른 회전 저항을 결정합니다.
주요 관심사가 국부 전단 예측인 경우: 전체 토크를 적분하여 구하기 전에 속도장과 표면 응력 분포를 사용합니다.
주요 관심사가 크리핑 유동 영역을 벗어난 운전인 경우: 유체 관성을 포함하고 적절한 고레이놀즈수 상관식, 수치 모델 또는 실험을 사용합니다.

지배 원리는 간단합니다. 점성 유동장을 해석하고, 표면 응력을 평가한 다음, 그 모멘트를 적분하여 유체역학적 토크를 구합니다.

요약 표:

주요 측면	결과 또는 적용
지배 모델	선형 크리핑 유동 스토크스 방정식
구의 토크	`G = -8πμωR³`
회전 저항	고립된 구의 경우 `ζᵣ = 8πμR³`
필요 동력	`P = 8πμω²R³`
계산 방법	유동을 해석하고, 표면 응력을 평가한 다음, 그 모멘트를 적분
주요 제한 사항	형상, 벽, 관성 및 비뉴턴 유체에는 보정 또는 다른 모델이 필요함

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