점성 응력 텐서가 대칭이라고 가정하는 이유는 일반적인 유체가 독립적인 미시적 토크를 가하지 않기 때문입니다. 따라서 미소 유체 요소에 대한 각운동량 보존 법칙에 따라 서로 수직인 면에 작용하는 전단 응력은 (\tau_{xy}=\tau_{yx})와 같이 같아야 합니다. 이는 2차 응력 텐서의 9개 성분을 6개의 독립적인 양으로 줄여주며, 대부분의 단위 조작 파일럿 플랜트에서 사용되는 일반적인 유체에 유효합니다.

표준 연속체 유체의 경우, 응력 대칭성은 단순한 수학적 편의가 아니라 각운동량 보존의 결과입니다. 이 가정은 유체가 내부 구조를 포함하고 있거나 일반적인 표면 응력과 독립적으로 토크를 가하는 분포된 물체 커플(body couples)의 영향을 받을 때 성립하지 않을 수 있습니다.

응력 대칭성이 사용되는 이유

응력 텐서는 표면력을 나타냅니다

코시(Cauchy) 응력 텐서는 유체 내부의 가상 표면을 가로질러 작용하는 힘을 설명합니다. 대각 성분은 수직 응력이고, 비대각 성분은 전단 응력입니다.

3차원에서 이 텐서는 처음에 9개의 성분을 포함합니다:

[ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}. ]

예를 들어, 성분 (\sigma_{xy})와 (\sigma_{yx})는 두 개의 수직 표면 방향과 관련된 응력을 설명합니다. 이들은 단순히 동일한 두 좌표 방향을 사용한다는 이유만으로 자동으로 같아지는 것은 아닙니다.

각운동량이 제약 조건을 부과합니다

미소 직사각형 유체 요소를 고려해 보십시오. 만약 (\tau_{xy})와 (\tau_{yx})가 다르다면, 이들의 힘은 세 번째 좌표축에 대해 순 토크를 발생시킬 것입니다.

독립적인 물체 토크가 없는 일반적인 유체 요소의 경우, 각운동량은 보존되어야 합니다. 따라서 회전 평형은 다음을 요구합니다:

[ \tau_{xy}=\tau_{yx}, \qquad \tau_{xz}=\tau_{zx}, \qquad \tau_{yz}=\tau_{zy}. ]

동일한 결론이 전체 응력 텐서에도 적용됩니다. 압력 기여도는 등방성이므로,

[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}, ]

이고 (-p\mathbf{I})는 이미 대칭이므로, 전체 응력이 대칭일 때마다 점성 응력 텐서 (\boldsymbol{\tau})도 대칭입니다.

미소 요소 논증

잠재적인 토크를 유발하는 표면력은 요소가 축소됨에 따라 유의미하게 유지되는 방식으로 요소의 크기와 비례합니다. 반면, 요소의 관성 모멘트는 특성 길이의 5제곱에 비례하는 반면, 부피는 3제곱에 비례합니다.

요소의 크기가 0에 가까워짐에 따라, 회전 관성 기여도는 전단 응력의 불균형으로 생성된 토크에 비해 무시할 수 있게 됩니다. 따라서 유한한 응력 불균형은 극한 유체 요소에서 불균형한 토크를 의미하므로, 비대각 성분은 균형을 이루어야 합니다.

이 논증은 응력과 가속도가 유한하게 유지되며 재료 내부에 별도의 미시적 토크가 작용하지 않는다고 가정합니다.

파일럿 플랜트 분석에서 이것이 중요한 이유

구성 방정식이 단순해집니다

등방성 뉴턴 유체의 경우, 점성 응력은 변형률과 다음과 같은 관계를 갖습니다.

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I}, ]

여기서

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^{T} \right] ]

은 대칭 변형률 텐서입니다.

(\mathbf{D})가 대칭이므로 뉴턴 점성 응력도 대칭입니다. 비압축성 유체의 경우 (\nabla\cdot\mathbf{v}=0)이 되어, 전단 응력과 수직 응력은 주로 동점성 계수 (\mu)에 의해 제어됩니다.

표준 단위 조작은 이 가정을 만족합니다

이 가정은 다음을 포함하여 일반적인 파일럿 플랜트 작동 유체에 적합합니다:

공기 및 기타 일반적인 기체
물 및 일반적인 뉴턴 액체
많은 고분자 용액
연속체 유체로 취급되는 일반적인 현탁액 및 슬러리
파이프 흐름, 열교환기, 혼합 및 컬럼 흐름 실험의 유체

이러한 조건 하에서 일반적인 운동량 방정식은 압력 강하, 벽면 전단, 속도 프로파일, 혼합 응력 및 공정 장비를 통한 흐름을 정확하게 설명합니다.

대칭 응력은 0 회전과 다릅니다

대칭 점성 응력 텐서가 유체 요소가 회전할 수 없다는 것을 의미하지는 않습니다. 속도 구배는 대칭적인 변형률 부분과 반대칭적인 강체 회전 부분으로 분해될 수 있습니다:

[ \nabla\mathbf{v}

\mathbf{D} + \mathbf{W}, ]

여기서 (\mathbf{D})는 변형을 설명하고 (\mathbf{W})는 국부 회전을 설명합니다.

속도 구배의 반대칭 부분은 와도(vorticity) 또는 강체 회전을 나타냅니다. 이것 자체가 반대칭 점성 응력은 아닙니다.

가정이 깨지는 경우

물체 커플이 있는 유체

유체가 물체 커플이라고도 불리는 분포된 물체 토크를 경험할 때 응력 대칭성이 깨질 수 있습니다. 이 경우 각운동량은 일반적인 표면 응력과 유체 부피 전체에 작용하는 독립적인 토크 모두에 의해 균형을 이룰 수 있습니다.

그러면 각운동량 균형은 다음을 허용합니다:

[ \sigma_{ij}\ne\sigma_{ji}. ]

완전한 모델은 추가적인 커플 응력 항이 필요할 수 있으며, 일부 이론에서는 유체 미세 구조의 회전에 대한 별도의 균형 방정식이 필요할 수 있습니다.

폴라 및 마이크로폴라 유체

폴라 또는 마이크로폴라 유체는 벌크 속도장과 독립적으로 회전할 수 있는 내부 구성 요소를 포함합니다. 예로는 현탁된 비대칭 입자가 있는 유체, 구조화된 마이크로 유체 또는 코세라(Cosserat) 유형 연속체 이론을 사용하여 모델링된 재료가 있습니다.

이러한 유체의 경우, 국부 요소는 고유한 회전 자유도를 가질 수 있습니다. 이 경우 고전적인 뉴턴 구성 관계는 불충분하며, 응력의 반대칭 부분은 0으로 강제되는 대신 물리적 정보를 전달할 수 있습니다.

강자성 유체 및 외부 부과 필드

강자성 유체는 인가된 자기장과 상호 작용할 수 있는 자성 입자를 포함합니다. 자기 토크는 입자를 회전시키고 유체에 각운동량을 전달할 수 있습니다.

자기 효과를 물체 커플로 취급하는 모델에서 기계적 응력 텐서는 대칭일 필요가 없습니다. 정확한 공식화는 자기 기여도가 유체 응력에 포함되는지, 물체력 및 물체 커플 항으로 표현되는지, 아니면 더 넓은 전자기 응력 균형에 통합되는지에 따라 달라집니다.

전자기 및 기타 연속체 효과

외부 필드는 연속체 규모에서 힘과 토크를 생성할 수 있습니다. 유사한 고려 사항이 일부 전기 전도성 유체, 액정, 활성 입자 회전이 있는 현탁액 및 기타 구조화된 재료에서 발생합니다.

핵심 문제는 유체가 비뉴턴 유체라는 것만이 아닙니다. 많은 비뉴턴 유체도 여전히 대칭적인 코시 응력 텐서를 가집니다. 모델이 독립적인 각운동량, 커플 응력 또는 물체 토크를 포함할 때 붕괴가 발생합니다.

트레이드오프 이해

가정은 효율적이지만 조건부입니다

대칭 응력 텐서를 사용하면 독립적인 응력 성분의 수를 9개에서 6개로 줄일 수 있습니다. 이는 구성 방정식, 경계 조건, 수치 구현 및 파일럿 규모 측정의 해석을 상당히 단순화합니다.

이 단순화는 일반 유체의 경우 내부 분자 회전이 장비 규모에서 별도로 해결 가능한 토크를 생성하지 않기 때문에 정당화됩니다.

비뉴턴 거동이 자동으로 대칭성을 무효화하지 않습니다

점탄성, 전단 박화, 전단 농화 및 항복 응력 거동은 응력과 변형 사이의 관계를 변화시킵니다. 이것들이 반드시 응력 텐서를 비대칭으로 만드는 것은 아닙니다.

비대칭 응력은 내부 입자 회전이나 인가된 물체 커플과 같은 더 구체적인 물리적 메커니즘을 필요로 합니다.

연속체 타당성은 별도의 요구 사항입니다

응력 대칭성은 국부 응력 및 속도장이 의미가 있는 연속체 설명을 가정합니다. 그 설명은 크누센 수(Knudsen number),

[ \mathrm{Kn}=\frac{\ell_0}{\ell}, ]

(여기서 \ell_0은 분자 평균 자유 행로, \ell은 특성 장비 길이)가 충분히 작을 때 신뢰할 수 있습니다.

매우 작은 규모나 희박 기체에서는 연속체 방정식 자체가 부적절해질 수 있습니다. 이는 연속체 역학 내의 각운동량 대칭성 실패와는 별개인 연속체 모델의 실패입니다.

전자기적 회계 처리가 혼란을 야기할 수 있습니다

전자기력과 토크가 별도로 표현되면 기계적 응력 텐서가 비대칭으로 보일 수 있습니다. 물리적으로 관련된 총 각운동량 균형은 모든 필드, 물체력, 물체 커플 및 표면 응력 기여도가 포함되면 여전히 일관될 수 있습니다.

따라서 명백한 비대칭성은 선택된 응력 정의 및 균형 법칙 공식화 내에서 해석되어야 합니다.

파일럿 플랜트 분석에 적용하는 방법

대부분의 단위 조작 계산에서 대칭 점성 응력 가정은 올바른 출발점입니다:

주요 초점이 일반적인 파이프 흐름이나 압력 강하인 경우: 유체 및 작동 조건에 맞게 선택된 점도와 함께 대칭 뉴턴 또는 적절한 일반화된 뉴턴 응력 모델을 사용하십시오.
주요 초점이 일반 액체를 사용한 열교환이나 혼합인 경우: 점성 응력을 대칭으로 취급하고 점성 소산이 에너지 균형에 영향을 미칠 만큼 큰지 별도로 평가하십시오.
주요 초점이 고분자 용액, 슬러리 또는 기타 비뉴턴 유체인 경우: 재료의 유변학에 대한 구성 관계를 수정하되, 유체가 독립적인 회전 구조나 인가된 물체 토크를 가지지 않는 한 비대칭성을 가정하지 마십시오.
주요 초점이 강자성 유체, 액정, 입자가 포함된 마이크로 유체 또는 필드 반응성 재료인 경우: 응력 대칭성을 부과하기 전에 지배 모델이 물체 커플, 커플 응력 또는 미세 구조적 각운동량을 포함하는지 확인하십시오.
주요 초점이 마이크로 규모 또는 희박 기체 흐름인 경우: 기존 응력 텐서 방정식에 의존하기 전에 크누센 수를 사용하여 연속체 가정을 확인하십시오.

표준 파일럿 플랜트 유체의 경우, 응력 대칭성은 각운동량 보존의 물리적으로 정당한 결과입니다. 특수 유체는 추가적인 토크를 명시적으로 고려하는 균형 법칙과 구성 모델이 필요합니다.

요약 표:

주제	핵심 요점
대칭성이 적용되는 이유	독립적인 물체 토크가 없을 때 각운동량 보존은 동일한 보완 전단 응력을 요구합니다.
표준 모델	뉴턴 유체와 많은 비뉴턴 유체는 대칭 점성 응력 텐서를 사용합니다.
파일럿 플랜트 관련성	이 가정은 파이프 흐름, 압력 강하, 혼합, 열교환 및 컬럼 작업 분석을 지원합니다.
실패할 수 있는 경우	물체 커플, 커플 응력, 마이크로폴라 유체, 강자성 유체, 액정 및 회전하는 미세 구조는 비대칭 응력을 생성할 수 있습니다.
별도 고려 사항	희박 또는 마이크로 규모 흐름은 크누센 수로 연속체 타당성을 확인해야 할 수 있습니다.
실용적 지침	독립적인 각운동량이나 분포된 토크가 물리적으로 존재할 때만 구성 모델을 변경하십시오.

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